课内第七章习题

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1、第七章习题(一)1.求vv=z2在Z=I处的伸缩率和旋转角。问此变换将经过点Z二i且平行于实宙正方向的曲线的切线方向变换成W平面上哪一个方向？并用图。2.试利用保域定理7.1简捷地证明第二章习题(一)6(3)、(4)o3.在整线性变换w=iz下，下列图形分别变成什么图形？(1)以z、=i,z2=-1,z3=1为顶点的三角形；(2)闭圆

2、z-l

3、

4、3观察)变成什么区域。(1)1㈠1,ioO,-,0-1；(2)1㈠8,i㈠一1,一1㈠0；(3)8㈠0,'㈠i,0㈠8；(4)oo0,01,1oo.5.z平面上有三个互相外切的圆周，切点之一在原点，函数w-丄将此三个圆周Z所围成的区域变成w平而上什么区域？6.如w=^-将单位圆周变成直线，其系数应满足什么条件？cz+d7.分别求将上半z平面Imz>0共形映射成单位圆

5、w

6、v1的分式线性变换W=厶(Z)，使符合条件：(1)L(z)=0,Z/(i)>0;jr(2)L(/)=0,argr(0=y.&分别求将单位圆

7、z

8、vl共形

9、映射成单位圆Iw

10、vl的分式线性变换w=L(z),使符合条件:1(1)L—=0,L(1)=-1;⑵I<1A(2)L-=0,argI：-2>9.求岀将圆

11、z-4z

12、<2变成半平面v>u的共形映射，使得圆心变到・4,而圆周上的点2i变到w=0・10.求出将上半z平面Imz>0共形映射成圆w

13、z

14、<2到半平面Revv>0的

15、共形映射w=/(z),使符合条件/(0)=1arg/'(0)=彳.13.试求以下各区域(除去阴影部分)到上半平而的一个共形映射。(1)

16、z+Z

17、v2,Imz>0(图7.20)o(2)z+i>y[2,z-i<>/2(图7.21)o(3)

18、z

19、<2Jz-l

20、>l(图7.22)o14.求出角形区域0

21、vv

22、<1的一个共形映射。415•求岀将上半单位圆变成上半平面的共形映射，使z=l,・l,0分别变成>v=-l,l,oo016.求出第一象限到上半平面的共形映射，使z=V2/,^,l对应地变成vv=0

23、,oo,-l.17.将扩充z平面割去1+1到2+2i的线段后剩下的区域共形映射成上半平面。18.将单位圆割去0到1的半径后剩下的区域共形映射成上半平而。19.将一个从屮心起沿实轴上的半径割开了的单位圆共形映射成单位圆，使符合条件：割疑寂岸的1变成1,割缝下岸的1变成0变成(二)1.证明定理7.3(只须就z°=0的情形证明)提示：不妨假设/(0)=0,否则，代替f(z)总可以考虑F⑵=/(z)-/(0),而F(0)=0,F(0)=广(0)H0；接着可以应用儒歇定理。2.如果单叶解析函数/(z)把z平面上可求面积的区域D共形

24、映射成w平面上的区域G,试证G的面积A=Jj/j/'(z)F如y,(z=x+iy)・3.求证：w=z+丄把圆周z=c变成椭圆周z(1)U=c+—0,0

25、p,q为对称点的圆周的方程为当k=l时，退化为以p,q为对称点的直线。9.求分式线性变换az+b..八w=,ad-be^0cz+d使扩弃z平面上的由三圆弧所围成的三角形与扩充W平面上的直线三角形相对应的充要条件.1.设函数W=f(z)在

26、z

27、vl内解析，且是将Iz

28、<1共形映射成IW

29、<1的分式线性变换。试证(!)1/31」—「(Izlvl);1一IZ「(2)f(a)=—^91-⑷其中a在单位圆

30、z

31、vl内，f(a)=0o2.若W=f⑵是将

32、z

33、vl共形映射成

34、w

35、vl的单叶解析函数，且/(0)=0,arg/(0)=

36、0.试证：这个变换只能是恒等变换，即f⑵三z.3.设函数w=/(z)在

37、z

38、<1内单叶解析，且将

39、z

40、<1共形映射成

41、w

42、<1,试证w=/(z)必是分式线性函数.4.设在

43、z

44、vl内f(z)解析,且

45、f(z)

46、<1；但/⑷=0(

47、a

48、<1).试证:在

49、z

50、vl内。提示：应用例7.8及施瓦茨引理.5.应用施瓦茨引理证明