开普勒定律的推导及应用

《开普勒定律的推导及应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、开普勒定律的推导及应用江苏南京师范大学物科院王勇江苏海安曲塘中学周延怀随着人类航天技术的飞速发展和我国嫦娥绕刀卫星的发射成功，以天体运动为载体的问题将成为今后考查热点。在现行的高屮物理教材屮主要引川了开普勒三人定律來描述了犬体的运动的规律，这三条定律的主要内容如2（1）所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上。(3)（2）对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。所冇行星的轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值至于行星绕太阳的轨道为何是椭圆以及严=（7屮的常最C与那些最相关并无说明。为了更深入的理解天体和

2、人造卫星的运行规律，本文将以椭闘的性质为基础从理论上推导开普勒定律。一、开普勒第一定律1.地球运行的特点（1）由于地球始终绕太阳运动，则太阳对地球的万有引力的力矩始终为零，所以地球在运动过程中角动量守恒。（2）若把太阳与地球当作一个系统，由于万有引力为保守力且无外力作用在这个系统上，所以系统机械能守恒。2.地球运行轨迹分析地球在有心力场中作平面运动且万有引力的作用线始终通过太阳，所以建立如图所示的极坐标系，则P点坐标为（r,（））。若太阳质量为M,地球质量为m,极径为r时地球运行的运行速度为vo(1)当地球的运行速度与极径r垂直时，则地球运行过程中的角动量

3、Z=im>r若取无穷远处为引力势能的零参考点,则引力势能地球在运行过程中的机械能GFUn(2)（1）式代入（2）式得:(3)由式⑶得：7=~^〔让严刊而⑷由式（4）可知，当地球的运行速度与极径「垂直时，地球运行的极径r有两解，由于初始假设地球的运行速度与极径垂肓，所以r为地球处在近LI点和远LI点距太阳的距离。考虑到地球的这两个位證在极坐标系屮分别相当丁•曲=-1和COStf=+1,可把式(4)的士号改写为更普遍的形式极坐标方程。则地球的运行轨迹方程为(5)—=—（I十（5）式与圆锥Illi线的极处标方程尸卩吻合，其屮jp=（P为决定圆锥1111线的开口）

4、，1+（e为偏心率，决定运行轨迹的形状），以地球的运行轨迹为圆锥曲线。由于地球绕太阳运动时E<0,则圆锥曲线的偏心率OaV,所以地球绕太阳运行的轨迹为椭圆。1.人造星体的变轨由于运载火箭发射能力的局限，人造星体往往不能直接由火箭送入最终运行的空问轨道，若要使人造星体到达预定的轨道，要在地血跟踪测控网的跟踪测控下，选择合适时机向卫星上的发动机发出点火指令使人造星体的速度增加（机械能增加），进而达到改变卫星运行轨道的H的。如图所示最初人造星体肓接由火箭送入近地轨道1,此时21?偏心率e=0,人造星体运行的轨迹为闘；当到达A点时，人造星体发动机点火，此时〈E〈0

5、,偏心率0

6、ISi<9=（3）式代入（2）式得衣2m2«由于L是恒量，所以单位时间内极径所扫过的面积曲也是恒量。所以地球在近LI点运行的快，在远地点运行的慢。如图人造星体从轨道1变化到轨道3的过程中，若点火前后A、B两点的速度分别为则点火前后速度VgV3V3；111于人造星体在轨道1。轨道3上做匀速圆周运动,以V1>V4；故V2>V1>V4>V3O三、开普勒第三定律行星绕太阳运动椭圆轨道的面积，根据椭I员I的性质则椭圆的面积（a为长轴，b为短轴）由于单位时间内极径所扫过的面积石■云(1)根据椭圆的性质和

7、开普勒第一定律，半长轴oMw2a-«2)(2)⑵式代入（1）式得匚CMfiZsCl-J）⑶根据椭圆的性质，椭圆的半短轴"算不7,则H=£（!-『）⑷7®式（4）代入（3）式得♦■CW一c,由此式可知绕同一中心天体运行的人造星体轨道半长轴的三次方跟它们的公转周期的二次方的比值山中心天体的质量所决定。例飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T,如图所示如果飞船要返回地面，可在轨道上的某点A将速度降低到适当的数值，从而使飞船沿着地心为焦点的椭圆轨道运行，椭圆与地球表面在B点相切,求飞船由A点到B点所需的时间。（已知地球半径为R。）分析：无论飞船是沿圆轨道运行还

8、是沿椭圆轨道运行，飞船都是绕地球运动，所以运行£吋间■轨道Z间的关