指数函数及性质的应用

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1、第2课时指数函数及其性质的应用学习目标：1•掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幕的大小及解不等式.(重点)2.通过本节内容的学习，进一步体会函数图象是研究函数的重要工具，并能运用指数函数研究一些实际问题.(难点)［合作探究•攻重难］看精彩微课I类型1

2、1比较下列各组数的大小:利用指数函数的单调性比较大小(1)1.525和1.53⑵0.6一山和0.6'1-5；(3)1.702和0.921；(4)d」与a03(a>0且1).【导学号：37102243］［解］(1)1.52,5,1.53,2可看作函数y=1.5‘的两个函数值，由于底数1.5>1,所以函数y=i.5x在R上是增

3、函数，因为2.50.2,所以1.525<1.53-2.⑵O.6_L2,O.6~1,5可看作函数y=0.6v的两个函数值，因为函数y=0.6'在R上是减函数，且一1.2>—1.5,所以0.6"L2<0.6~L5.(3)由指数函数性质得，1・7°2>i.7°=1,0.92」v0.9°=1,所以1.7(12>0.921.(4)当a>时，y=N在R上是增函数，故aLI>a0,3;当0<(7<1时，y=ax在R上是减函数，故tzL1<«0,3.

4、规律方法

5、比较幕的大小的方法(1)同底数幕比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较.(2)指数相同底数不同时分别画出以两幕底数为底数的指数函数图象，当%取

6、相同幕指数时可观察出函数值的大小.(3)底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幕与两数比较，或借助“1”与两数比较.(1)当底数含参数时，要按底数。>1和Ovovl两种情况分类讨论.［跟踪训练］12133321.比较下列各值的大小：(寻，2,(―

7、),㊂•［解］先根据幕的特征，将这4个数分类：133212图象，再分别取兀=亍，兀=予(1)负数：(一

8、);(2)大于1的数：g)，23；(3)大于0且小于1的数：£(2)中,I1312*jj<2J<2J(也可在同一平面直角坐标系中，分别作出y=2'的比较对应函数值的大小，如图),故有(-1)<©v(寻&・［类型刃利用指数函数的

9、单调性解不等式卜例(1)解不等式(勺W2；2x一3x+lx+6⑵已知a0,aHl),求x的取值范围.【导学号：37102244］在R上是减函数,［解］/.3兀一12—1,故原不等式的解集是{xk^o}.(2)分情况讨论：①当Osvl时，函数几t)=(Z(d>0,oHl)在R上是减函数，.•./―3x+1>兀+6,・•./—4兀一5>0,根据相应二次函数的图象可得x<—1或兀>5;②当°>1时，函数.心)=a'(d>0,dHl)在R上是增函数，•*.x2—3x+l5;当

10、a>时，一l护刃(°〉0卫工1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即>严)O(/(%)>g(%)卫>1,y(%)0且心1),求兀的取值范围.5-3x因为n,所以才+1>左一5,当a>l时，y=aK为增函数，可得x+l>3x—5,所以兀<3;当Osvl时，y=ax为减函数，可得x+l<3x-5,所以兀>3.综上，当。>1时，兀的取值范围为(一8,3);当Osvl时，兀的取

11、值范围为(3,+°°).［类型©I指数型函数单调性的综合应用［探究问题］的单调区间是什么？提示：因为函数)；=◎在(―°°,+°°)上单调递减，函数t=x1~2x+1在(一°°,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减.21.函数y=a~x(tz>0,且qHI)的单调性与y=—M的单调性存在怎样的关系？2提示：分两类：(1)当。>1时，函数y=a~x的单调性与y=—x2的单调性一致;2⑵当OVdVl时，函数y的单调性与y=—x2的单调性相反.3卜例2"7、的单调性，并求其值域.U的单调性【导学号：37102245］思路探究：令w—x2—2x同增异减

12、T函数兀0的单调性懈］令u=x1—2x，则原函数变为・・5=/—2兀=(X—1)2—1在(一°°,1］上递减，在［1,+°°)上递增，又•・)=(&在(―°°,+°°)上递减，2・・yx—2x在(一°°,1］上递增，在［1,+°°)上递减.Vw=x2—2x=(%—1)2—1$—1,U,心一1,+oo),・••原函数的值域为(0,3］・母题探究：1.把本例的函数改为“/U)=2”,求其单调区间.97+2x［解］函数y=2的