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《数学竞赛辅导托勒密定理(一)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、托勒密定理Ptolemyf约公元85年~165年），希腊数大天文学家，他的主要著作《天文集》被后人称为“伟大的数学书”。托勒密定理圆内接四边形中，两条对角线的乘积（两对角线所包矩形的面积）等于两组对边乘积之和。已知：四边形&3CD内接于圆，如图，求证：ABCD+BCAD=ACBD证明：在ZBAD内作ZBAE=ZCAD,交BD于E。AC因Z&BE二ZACD,所以△ABE^^ACD,从而AB・CD二AC・BE①；易证△ADE^AACB,所以BC-AD=AC-DE®；①+②得AB-CD^BC-AD=AC-BDo对角线的积，此四边形必内接于托勒密定理的逆定理：如果凸四边形
2、两组对边的积的和，等于两已知四边形ABCD满足AB-CD+BC-AD=AC-BDf求证：A.B.C.D四点共证明：构造相似三角形，即取点E,使ZBCE=ZACD,且ZCBE=ZCAD,则厶CBEs^CAD。所以BC・AD二AC・BE①；又生=企ZBCA=ZECD,所以△BCAs&CD。AB・CD=AC-DECECD②；①+②得AB-CD+BC-AD=AC-(BE+DE)。显然冇BEWE>DBo于是AB・CD+BC・AD»AC・DB。等号当且仅当E在BD上成立，结合已知条件得到此吋等号成立，这吋ZCBD=ZCAD,即A、B、C、D四点共圆。托勒密定理解产托罗密不等式
3、在四边形ABCD中，有ABCD+ADBC>ACBD.并几当J1仅当四边形内接于圆吋，等式成立。推论1■（三弦定理）如果A是圆上任意一点，AB,AC,AD是该圆上顺次的三条弓玄，贝U/IC-sinZBAD=ABsinACAD+4D・sinZCAB推论2（四角定理）四边形ABCD内接于0,则sinZADC-sinABAD=sinZ/4BD-sinZBDC+sinZ/4DB-sinZDBC直线上的托勒密定理（或欧拉定理）若A,B,C,D为一直线上依次排序的四点，贝\ABCD^BC-AD=ACBD一、直接应用托勒密定理F例1如图，P是正AABC外接圆的劣弧眈上任一点（不
4、与B、C重合）,求证：PA=PB+PC・分析：此题证法甚多，一般是截长、补短，构造全等三角形，均为繁冗.若借助托勒密定理论证，则有PA-BC=PB-AC+PC-AB,・・・AB=BC=AC•・・・PA=PB+PC・二、完善图形借助托勒密定理例2证明“勾股定理冬在RtZXABC中,ZB=90°,求证：AC2=AB2+BC2证明：如图，作以RtAABC的斜边AC为一对角线的矩形ABCD,显然ABCD是圆内接四边形.由托勒密定理,冇AC•BD=AB•CD+AD•BC・①乂・・・ABCD是矩形，AAB=CD,AD=BC,AC=BD・②把②代人①，得AC=AB2+BC!.例
5、3如图，在AABC中，ZA的平分线交外接Z圆于D,连结BD,求证:AD•BC=BD(AB+AC).证明：连结CD,依托勒密定理，有AD•BC=AB•CD+AC•BD.VZ1=Z2,・•・BD=CD.故AD•BC=AB•BD+AC•BD=BD(AB+AC).三、构造图形借助托勒密定理例4若a、b、x、y是实数，且a'+b—1,xJ+y2=1.求证：ax+byW1.证明：如图作直径AB=1的圆，在AB两边任作RtAACB和RtAADB,使AC=a,BC=b,BD=x,AD=y.由勾股定理知a、b、x、y是满足题设条件的.据托勒密定理，有AC•BD+BC•AD=AB•C
6、D.・.・CDWAB=1,Aax+by^1.四、巧变原式妙构图形，借助托勒密定理例5已知a、b、c是AABC的三边，fta2=b(b+c),求证：ZA=2ZB.分析：将吐b(b+c)变形为a•a=b•b+bc,从而联想到托勒密定理，进而构造-•个等腰梯形，使两腰为b,两对角线为a,—底边为c.证明：如图，作AABC的外接圆，以A为圆心，BC为半径作弧交圆于D,连结BD、DC、DA.VAD=BC,ACD=BDC:.ZABD=ZBAC.乂VZBDA=ZACB(对同弧)，AZ1=Z2・于是BD=AC,则BD=AC=b.依托勒密定理，有BC・AD=AB・CD+BD・AC.
7、①而已知a2=b(b+c),即a•a=b-c+b②B比较①、②得CD=b=BD,CD=BD,Z3=Z1=Z2..ZBAC=2ZABC・五、巧变形妙引线借肋托勒密定理例6在AABC中，己知ZA：ZB：ZC=1：2：4,求证：—+—ABACBCc分析：将结论变形为AC・BC+AB・BC=AB・AC,把三角形和圆联系起来，可联想到托勒密定理，进而构造圆内接四边形.如图，作AABC的外接圆，作弦BD=BC,边结AD、CD.在圆内接四边形ADBC中，由托勒密定理，有AC•BD+BC•AD=AB•CD易证AB=AD,CD=AC,AAC•BC+BC•AB=AB•AC,两端同
8、除以AB•
