有限元理论与方法-第7讲

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1、第7讲（第7周）2.应变矩阵确定了单元位移后，町以很方便地利用几何方程和物理方程求得单元的应变和应力。作为平面问题，单元内具有3个应变分量心、勺、沧（各符号的意义见附录1），用矩阵表示为5waxav-^+将（2.1.4）式代入上式中，得到2A(2-1-8)12A0bi(2-1-7)式中〃称为应变矩阵，写为分块形式，即B=[BiBjBm]而其子阵为(2-1-9)3节点三角形单元的B是常虽阵,所以称为常应变单元。在应变梯度较大（也即应力梯度较大）的部位，单元划分应适当密集，否则将不能反映应变的真实变化而导致较大的误差。上述应变中包括与应力有关的应变和与应力无关的应变两部分，无关的应

2、变用乂称为初应变£0由温度变化、收缩、品体生长等因素引起，对工程结构一般只考虑温度应变，无论线性和非线性温度，计算时可近似地采用平均温度亍_Tj+7}+几-3Rf_3式中，Ti、Tj、几分别为节点八八加的温度，卩血为参考温度。对于平血应力问题，温度尸引起的初始应变为aT£()=aT0其屮，a为线膨胀系数。由于温度变化在各向同性介质小不引起剪切变形，所以y,vO=Oo以后所述问题，除非特别说明,都指各向同性介质。对平面应力问题，温度尸引起的初始应变为aT%=(1+“)历70当不考虑温度的影响时，当前温度即为参考温度。以后所述问题，除非特别说明，不考虑温度影响。2.单元应力根据物理

3、方程，对平面应力问题，取应变分量2(1+〃)~E-由上式解出6=-~~(6+竹)1-“_E6,=-—(如+6)1-茁EE1一〃2(1+“)&=1-26(7=crv=De(2-1-10)式屮，D为弹性矩阵,p=l-//200"T~取决于弹性常数E和〃。将式(2-1-7)代入式(2-1-10)得(2-1-12)a=SdeS=DB=[SjS.j5,J(2-1-13)E2(1-A2Mb,2(ijm)式中，s为应丿J矩阵，反映了单元应力与单元节点位移Z间的关系。由于单元应力和应变分量为常量,所以单元边界上有应力阶越，随单元划分变密，突变将减小。对平面应变问题，有四个应力分量：％內、吻和込

4、。収应变分量EE2(1+“)—E—Txy/xv“抄厂州一咛)=0由应变分量解出%巾、％”弹性矩阵为101-“D-EdA10(1+“)(1-2“)1-“001一2“2(1-“)(2-1-14)根据物理方程可以求解各M力分聚。2.单元刚度矩阵单元节点力为f,节点熄位移为⑺丫，节点虚应变为(z)s平面单元的厚度为人应用虚位移原理(0j)Fe=心dy=(^*Dstdxdy将T=B(F)e及xBA代入上式整理得到Fe=(^BTDBtdxdy)3e可见单元刚度矩阵为(2-1-15)Ke=^BrDBtdxdy对于三节点三角形单元，面积为4所取为线性位移模式，单元刚度矩阵为进一步表示为Ke=B

5、7StA对平而应力问题有Et4(1-“2“单元刚度矩阵表达单元抵抗变形的能力，其元素值为单位位移所引起的节点力，与普通弹簧的刚度系数具有同样的物理本质。例如子块K,鼻11=KgKjj略_0k11KijKij其中：上标1表示X方向自由度，2表示p方向口由度，后一上标代表单位位移的方向，前一上标代表单位位移引起的节点力方向。如朋表示丿节点产生单位水平位移时在，节点引起的水平节点力分量,席表示j节点产生单位水平位移时在7节点引起的竖直节点力分量，其余类推。单元刚度矩阵为对称矩阵。山于单元可有任意的刚体位移，给定的节点力不能惟一地确定节点位移，可知单元刚度矩阵不可求逆，具冇奇异性。2.

6、等效节点载荷有限单元法分析只采用节点载荷，作用于单元上的非节点载荷都必须移置为等效节点载荷。可依照静力等效原则，即原载荷与等效节点载荷在虚位移上所作的虚功相等，求等效节点载荷。⑴集中力的移置。设单元泗内处标为(x,同的任意一点M受有集中载荷户£用丁，移置为等效节点载荷Pc=[XiYiXjYjXmyjTo假想单元发生了虚位移，其中，M点虚位移为/二屮⑺丫，其中(

7、(3)面力的移置。设在单元的某一个边界上作用有分布的面力，单位面积上的面力为p=[pxpf,在此边界上取微面积/由，对整个边界面积分，得到(2-1-19)例2・1求单元在以下受力情况下的等效节点荷载：y方向的重力为G、图2・2所示可边受x方向均布力P、图2-3所示〃?边受x方向线性分布力。求解说明图2-2均布力图2-3线性分布力利用上述公式求等效节点载荷，当原载荷是分布体力或面力时，进行积分运算是比较繁琐的。但在线性位移模式下，可以按照静力学中力的分解原理直接求出等效节点载荷，上述三种情况等