有限元理论与方法-第3讲

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1、讲授内容备注第3讲(第3周)3.节点平衡方程与整体刚度矩阵从一个桁架中取一节点i，如图1-4a所示，设环绕该点有三个单元，即ij、im、ip。该节点承受的水平和垂直荷载分别为Xi和Yi，即节点i的荷载Pi=[XiYi]T。ab图1-4节点i的平衡根据力的平衡，作用于杆单元的节点力与作用于节点的节点力，其大小相等，方向相反。以杆ij为例，作用于杆单元的节点力是[UijVij]T，而作用于节点i的节点力是[-Uij-Vij]T。将节点脱离出来，受力分析如图1-4b所示，在水平和垂直方向的节点受力平衡方程为（1-2

2、-15）由式（1-2-14）知道杆单元ij在节点i的节点力为（1-2-16）其它单元施于节点i的节点力同样可以写出，一起代入式（1-2-15），得到（1-2-17）每个节点都有一对平衡方程如上，对于全部节点i=1,2,…,N的结构，得到2N阶线性方程组，即结构的节点平衡方程组（1-2-18）其中式中，δ为全部节点位移组成的列阵；P为全部节点荷载组成的列阵；K为结构的整体刚度矩阵。4.总体刚度矩阵的合成由单元刚度矩阵合成结构的整体刚度矩阵通常采用两种方法，一种为编码法，一种为大域变换矩阵法，前者对自由度较少的结

3、构简单明了，后者特别适合计算机编程运算。下面重点阐述后者。结构总体刚度矩阵[K]与单元刚度矩阵[K]e之间的关系为（1-2-19）4其中Ge为单元大域变换矩阵，对平面桁架结构，单元自由度m=4，节点自由度为h=2，整个结构有n个节点，则该单元大域变换矩阵为m×（hn）维。其中ij单元假定为全局单元编号中第3个，其大域变换矩阵为（1-2-20）另外，总体结构的荷载向量、位移向量与单元荷载向量、位移向量之间的关系为（1-2-21）（1-2-22）5.边界条件的处理图1-5桁架边界条件指结构边界上所受到的外加约束。

4、边界上的节点通常有两种情况。一种可以自由变形，如图1-5中的节点5、6、7、8等，这时只要让这些节点上的荷载等于零就可以了。如果节点3作用着外荷载，可令该点的荷载等于规定的荷载Q。另一种是边界上的节点，规定了节点位移的数值，如图1-5所示桁架，有u1=v1=v4=0，v2=b这时，是否可以把规定的位移数值直接放到平衡方程Kδ=P中去呢?当采用迭代法求解时，是可以这样做的。如果采用直接法求解时，就不能这样做了，因为直接法是以全部节点位移都是未知量为基础的。现在把结构平衡方程组重新排列如下式中，δb是已知的节点位

5、移，δa是未知的节点位移。相应地，Pa是已知的节点荷载，而Pb是未知的支点反力。只要已给出的位移δb足以阻止结构的刚体移动，则子矩阵Kaa将是非奇异的，可以解出未知的节点位移δa=Kaa-1（Pa－Kabδb）进而求出未知支点反力如下Pb=（Kbb－KabTKaa-1Kab）δb+KabTKaa-1Pa上面我们说明了求解平衡方程组的步骤，但在有限单元法中，未知量的个数通常有几百个，甚至几万个，一般都利用电子计算机求解。给定位移的节点和给定荷载的节点实际上是交错出现的。通常为了程序设计的方便，刚度矩阵[K]的行

6、序和列序都不改变，而作下述处理。设设结构的平衡方程为（1-2-23）4对u1=0上式作如下变化，在刚度矩阵[K]中，把与u1对应的对角线上的刚度系数是k1,1换为一个极大的数，例如可换成k1,1×108；把与u1对应的节点荷载换成k1,1×108×u1=0，其余保留不变。对其它边界条件可以类推。通过上述变化，式（1-2-23）中节点位移列阵成为未知量，荷载列阵成为已知向量，两端左乘刚度矩阵的逆阵可以求出节点位移，进而得到节点力和单元内力。上述以位移作为未知量求解并表示出节点力和单元内力的方法，称为“位移法”，

7、相应的有限单元法为“位移法有限元”。以单元内力为未知量的有限元方法称为“力法有限元”，工程中采用不多。[例1-1]桁架结构的平衡方程如图1-6所示桁架结构，支承条件为：u1=v1=u4=v4=0，u3=b。该桁架共有6个杆单元，各单元的尺寸和倾角如表1-1所示。试列出该桁架结构的平衡方程。表1-2-1单元结构尺寸杆单元i点j点面积长度弹性模量倾角θ（º）α=cosθβ=sinθα2β2αβ1212AlE90010101313AlE451/1/1/21/21/21414AlE0100002323AlE01000

8、02424AlE3151/-1/1/21/21/23434AlE2700-1010图1-6桁架求解步骤(1)根据前述列出各单元的刚度矩阵，，…(2)列出各单元的大域变换矩阵，，…(3)进而计算整体刚度矩阵[K]，写出结构总体平衡方程为4(1)引入边界条件后得到3.1.1有限单元法分析的一般步骤1.结构离散化结构离散化就是将结构分成有限个小的单元体，单元与单元、单元与边界之间通过节点连接。结构的离散化