有限元理论与方法-第7讲new

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1、讲授内容备注第7讲(第7周)2.应变矩阵确定了单元位移后，可以很方便地利用几何方程和物理方程求得单元的应变和应力。作为平面问题，单元内具有3个应变分量εx、εy、γxy（各符号的意义见附录1），用矩阵表示为将（2.1.4）式代入上式中，得到或(2-1-7)式中B称为应变矩阵，写为分块形式，即B=[BiBjBm](2-1-8)而其子阵为(2-1-9)3节点三角形单元的B是常量阵，所以称为常应变单元。在应变梯度较大(也即应力梯度较大)的部位，单元划分应适当密集，否则将不能反映应变的真实变化而导致较大的误差。上述应变中包括与应力有关的应变和与应力无关的应变两部分，

2、无关的应变ε0又称为初应变ε0由温度变化、收缩、晶体生长等因素引起，对工程结构一般只考虑温度应变，无论线性和非线性温度，计算时可近似地采用平均温度式中，Ti、Tj、Tm分别为节点i、j、m的温度，Tref为参考温度。对于平面应力问题，温度引起的初始应变为7其中，α为线膨胀系数。由于温度变化在各向同性介质中不引起剪切变形，所以γxy0=0。以后所述问题，除非特别说明，都指各向同性介质。对平面应力问题，温度引起的初始应变为当不考虑温度的影响时，当前温度即为参考温度。以后所述问题，除非特别说明，不考虑温度影响。3.单元应力根据物理方程，对平面应力问题，取应变分量由

3、上式解出(2-1-10)式中，D为弹性矩阵，(2-1-11)取决于弹性常数E和μ。将式（2-1-7）代入式（2-1-10）得(2-1-12)(2-1-13)7式中，S为应力矩阵，反映了单元应力与单元节点位移之间的关系。由于单元应力和应变分量为常量，所以单元边界上有应力阶越，随单元划分变密，突变将减小。对平面应变问题，有四个应力分量：σx、σy、τxy和σz。取应变分量由应变分量解出σx、σy、τxy，弹性矩阵为(2-1-14)根据物理方程可以求解各应力分量。4.单元刚度矩阵单元节点力为Fe，节点虚位移为(δ*)e，节点虚应变为(ε*)e，平面单元的厚度为t。

4、应用虚位移原理将及代入上式整理得到可见单元刚度矩阵为(2-1-15)对于三节点三角形单元，面积为A，所取为线性位移模式，单元刚度矩阵为进一步表示为对平面应力问题有7(2-1-16)单元刚度矩阵表达单元抵抗变形的能力，其元素值为单位位移所引起的节点力，与普通弹簧的刚度系数具有同样的物理本质。例如子块Kij其中：上标1表示x方向自由度，2表示y方向自由度，后一上标代表单位位移的方向，前一上标代表单位位移引起的节点力方向。如表示j节点产生单位水平位移时在i节点引起的水平节点力分量，表示j节点产生单位水平位移时在i节点引起的竖直节点力分量，其余类推。单元刚度矩阵为对

5、称矩阵。由于单元可有任意的刚体位移，给定的节点力不能惟一地确定节点位移，可知单元刚度矩阵不可求逆，具有奇异性。5.等效节点载荷有限单元法分析只采用节点载荷，作用于单元上的非节点载荷都必须移置为等效节点载荷。可依照静力等效原则，即原载荷与等效节点载荷在虚位移上所作的虚功相等，求等效节点载荷。(1)集中力的移置。设单元ijm内坐标为(x，y)的任意一点M受有集中载荷f=[fxfy]T，移置为等效节点载荷Pe=[XiYiXjYjXmYm]T。假想单元发生了虚位移，其中，M点虚位移为u*=NT(δ*)e，其中(δ*)e为单元节点虚位移。按照静力等效原则有则(2-1-

6、17)(2)体力的移置。设单元承受有分布体力，单位体积的体力记为q＝[qxqy]T，其等效节点荷载为(2-1-18)(3)面力的移置。设在单元的某一个边界上作用有分布的面力，单位面积上的面力为p=[pxpy]T，在此边界上取微面积tds，对整个边界面积分，得到(2-1-19)例2-1求单元在以下受力情况下的等效节点荷载：y方向的重力为G、图2-2所示ij边受x方向均布力p、图2-3所示jm边受x方向线性分布力。图2-2均布力图2-3线性分布力求解说明利用上述公式求等效节点载荷，当原载荷是分布体力或面力时，进行积分运算是比较繁琐的。但在线性位移模式下，可以按照

7、静力学中力的分解原理直接求出等效节点载荷，上述三种情况等效节点荷载分别为76.整体分析结构的整体分析就是将离散后的所有单元通过节点连接成原结构物进行分析，分析过程是将所有单元的单元刚度方程组集成总体刚度方程，引进边界条件后求解整体节点位移向量。总体刚度方程实际上就是所有节点的平衡方程，由单元刚度方程组集总体刚度方程应满足以下两个原则：(1)各单元在公共节点上协调地彼此连接，即在公共节点处具有相同的位移。由于基本未知量为整体节点位移向量，这一点已经得到满足。(2)结构的各节点离散出来后应满足平衡条件，也就是说，环绕某一节点的所有单元作用于该节点的节点力之和应与

8、该节点的节点载荷平衡。每一节点统一使用整体节点编号（