必修5《解三角形》《数列》教材分析

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1、必修5《解三角形》《数列》教材分析吕希北京一六一中学数学组第一章解三角形一.课程标准对这部分知识的表述学生将在己有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度Z间的数量关系，并认识到运用它们可以解决一些与测量和儿何计算有关的实际问题.内容与要求解三角形（约8课时）（1）通过対任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和儿何计算有关的实际问题.说明与建议解三角形的教学要重视正弦定理和余弦定

2、理在探索三角形边角关系中的作用，引导学牛认识它们是解决测量问题的一种方法，不必在恒等变形上进行过于繁琐的训练.二.教材分析与教学建议本章的主要内容是正眩定理、余眩定理及其应用.全章共分两大节.第一大节，是正弦定理和余弦定理.教材通过两个实际问题，引导学生去探究三角形的边与角的关系：首先分析直角三角形的边角关系，概括出直角三角形的正弦定理，然后思考“对于一般三角形，结论是否仍然成立？”最后通过构造直角三角形推导出这两个定理.让学生体会探究过程的一般步骤：先由特殊情况发现结论，然后针对一般情况提出猜想，再对一般情况进行验证，最

3、后给出--般性证明.在这部分的教学过程中应注意：（1）重视两个定理的得出过程.在探究过程中，要注意指导学生合作交流、共同分析和相互启迪，使学生经历并体验数学探究活动的过程，培养探索精神和创新意识.另一方面,教师要注意通过提出问题，引导学生自主探究，提高兴趣.比如，余弦定理的教学可提出“已知两边及夹角求第三边的问题”，在解决问题的过程中得出余弦定理.在此过程中，可引入必修4教材中的一道练习题：在△ABC中，已知

4、AB

5、=3,

6、BC

7、=5,ZABC=60°,求AC.（2）两个定理的证明方法多种，可根据学生情况拓展学生思维.

8、比如，正弦定理的证明还可以有向量法、面积法、外接圆法等；余弦定理可以用向量法证明.（3）两个定理从不同的角度反映了三角形中边与角之间的关系，可以让学有余力的学生探究两个定理之间的内在联系，比如能否利用正弦定理推导出余弦定理呢？（4）正弦定理是否出现“外接圆半径”视学生情况而定，不出现应该对后续学习没有影响，但是应该让学生学会连等式设R解决问题的方法.（5）让学生明确在解三角形问题中，已知两角一边、已知两边和一边的对角的问题可由正弦定理来解决，已知两边夹角、已知三边的问题可由余弦定理来解决.对于什么样的三角形可解、不可解、或

9、多解应给予适当的讨论，但没必要作为结论要求学生记忆.（6）在教材的习题和探索与研究里，出现了三角形面积的计算公式，应该让学生掌握.（7）应该让学生掌握简单的利用两个定理判断三角形形状的问题.比如，在AABC中，已知a=2bcosC,则该三角形是等腰三角形.（8）关于三角形屮的相关知识可做一个适时的整理.如：三边关系：ci+b>c,等.角之J'可的关系：A+B+C=tt,—I1—=—,2222角的三角函数值之间关系：sin（A+B）=sinC,sinA+B=cos—,等.22边角之I'可的关系：==c2=a2+b2-2abc

10、osC,等.sinAsinBsinC三角形外心、内心、重心、垂心的概念及性质，正三角形的中心，等.三角形中，ci>b0A>B<=>sinA>sinB.第二大节，通过运用正弦定理和余弦定理解决测量、工业、儿何等方面的实际问题，使学生进一步体会数学在实际中的应用，激发学生学习数学的兴趣，培养学生由实际问题抽象出数学问题并加以解决的能力.从某种意义上讲，这一部分可视为用代数法解决几何问题的典型内容之一.在这部分的教学中注意：（1）着重解决两个问题：“测量底部不能到达的建筑物的高度”和“测量平面上两个不能到达的地方之间的距离”•让

11、学生明确如何根据问题构造三角形？需要测量儿个元素？构造一个三角形能否解决问题？如果不行，怎么办？要注重测量方案的设计，注意测量方案优劣的比较，在某种特定情景和条件限制下如果一种方案有效，而另一方案无效，为什么？要让学生清清楚楚.比如，在北京故宫的四个角上各矗立着一座角楼，如何通过测量，求得角楼的高度？（2）引导学生在分析、尝试探究的基础上，总结出将实际问题数学化，进而使问题得到解决的几个环节：分析题意画图示意逊〉化成数学问题迩泌〉运用有关知识解决（计算）（3）在演算过程中，要求学生算法简练，算式工整，计算正确.第二章数列一

12、.课程标准对这部分知识的表述数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型.在本模块中，学生将通过对tl常生活中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题.内容与要求数列（约12课时）（1）数