期权定价理论介绍(1)

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1、期权定价理论介绍(1)资料來源：上海财经大学国际工商管理学院硕士研究生课程讲义朱小斌整理期权是一种独特的衍生金融产站，它使买方能够避免坏的结來，同吋，乂能从好的结果中获益。金融期权创立于20世纪70年代，并在80年代得到了广泛的应用。今天，期权己经成为所有金融工具中功能最多和最激动人心的工具。因此，了解期权的定价对于了解儿乎所有证券的定价，具有极其重要的意义。而期权定价理论被认为是经济学中唯-一个先于实践的理论。当布莱克(Black)和斯科尔斯(Scholes)于1971年完成其论文,并于1973年发表时，世界上第一个期权交易所——芝加哥期权交易所(CBO

2、E)才刚刚成立一个月(1973年4刀26口成立)，定价模型马上被期权投资者所采用。后来默顿对此进行了改进。布莱克一斯科尔斯期权定价理论为金融衍生产品市场的快速发展奠定了棊础。期权定价理论并不是起源于布莱克一斯科尔斯定价模型(以下记为B—S定价模型)。在此Z前，许多学者都研究过这一问题。最早的是法国数学家路易・巴舍利耶(LowisBachelier)于1900年提出的模型。随后,卡苏夫(Kassouf,1969年)、斯普里克尔(Sprekle,1961年)、博内斯(Boness,1964年)、萨缪尔森(Samuelson,1965年)等分别提出了不同的期权定

3、价模型。但他们都没能完全解出具体的方程。木讲主要讨论以股票为基础资产的欧式期权的B—S定价理论。一、预备知识(-)连续复利我们一般比较熟悉的是以年为单位计算的利率，但在期权以及其它复杂的衍生证券定价中，连续复利得到广泛的应用。因而，熟悉连续复利的计算是十分必耍的。假设数额为A的资金，以年利率r投资了n年，如果利率按一年计一次算，则该笔投资的终值为A(l+r)M0如果每年计m次利息，则终值为:A(l+-rmom当m趋于无穷大吋，以这种结果计息的方式就称为连续复利。在连续复利的情况下，金额A以利率「投资n年后，将达到：对一笔以利率I•连续复利n年的资金，其终值

4、为现值乘以『“，而对一笔以利率r连续复利贴现n年的资金，英现值为终值是乘上广"在股票投资中，我们一般都以连续复利计息。也就是说，现在金额为S投资股票，期望以复利》计息，经过T时期后(T一般以年为单位)，股票的期望价格为：ST=Se"T从而可得：“二丄山归。也就是说，股票价格的期望收益率为股票价格比的对数。TS(-)股票价格的行为过程众所周知，股价运动一般没有规律可循,但我们可以用一种随机过程來刻划股价的运动。随机过程是指：如果某变量的价值以某种不确定的方式随时间变化，则称该变量遵循某种随机过程。特别地，当一个随机过程变量的未來预测值只与该变量的当前值有关，

5、而与该变量的过去值无关时，我们称该随机过程为马尔可夫过程。以下我们要介绍儿种特殊的马尔可夫过程。1、基本的维纳过程要理解遵循维纳过程的变量刁的行为，可以考虑在短时间间隔上变量刁值的变化。设一个小的时间间隔长度为At,定义△刁为在At时间内刁的变化。如果满足：(1)Az=VAr

6、-z(O),这可以被看作在N个长度为At的小时间间亠TZ(T)—z(0)=f皿;隔后刁的变化的总量。其中N=—，从而Ar(6.2)其中®(i=l,2,・・・,N)是服从标准正态分布的随机抽样值，H相互独立。从而z(T)-z(0)也服从正态分布，其均值为()，方差为TUNZ),标准差为折。另外，6.1式的极限形式可表示为：dz=4dts(6.3)2、一般化的维纳过程变量x的一般化维纳过程定义如下：dx=adt+bdz(6.4)其中为常数，dz为同6.3式的基本维纳过程。adt项表示变量x在单位时间内的漂移量，其期望值为aobdz项可被看作为增加到x轨迹上的波

7、动率或噪声，其值为维纳过程的b倍。在缺省bdz项的情况下，方程变为：dx=adt对其积分可得：x=xQ+at其中xo为变量x在零时刻的值。经过t时间后,x增加的值为6.4式的离散形式为：Ar=at+Z?Az=at+(6.5)从而，Ax具有止态分布，且心的均值为aAt,方差为b2^t,标准差为/?Va7o经过时间T后，兀值的变化具有正态分布，同样，可以求得其均值为aT,方差为戸7标准差为b历。方程6.4给出了一般性维纳过程。其漂移率(单位时间的平均漂移)的期望值为Q,方差率(即单位吋间的方差)的期望值为沪。如图6.1所示。变量x3、ITO过程(ITOp

8、rocess)ITO过程是一•个更一般化的维纳过程，其数学表达式为