期权定价理论.doc

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1、上海财经大学国际工商管理学院硕士研究生课程讲义（朱小斌）期权定价理论期权是一种独特的衍生金融产品，它使买方能够避免坏的结果，同时，又能从好的结果中获益。金融期权创立于20世纪70年代，并在80年代得到了广泛的应用。今天，期权已经成为所有金融工具中功能最多和最激动人心的工具。因此，了解期权的定价对于了解几乎所有证券的定价，具有极其重要的意义。而期权定价理论被认为是经济学中唯一一个先于实践的理论。当布莱克（Black）和斯科尔斯（Scholes）于1971年完成其论文，并于1973年发表时，世界上第一个期权交易所——芝加哥期权交易所

2、（CBOE）才刚刚成立一个月（1973年4月26日成立），定价模型马上被期权投资者所采用。后来默顿对此进行了改进。布莱克—斯科尔斯期权定价理论为金融衍生产品市场的快速发展奠定了基础。期权定价理论并不是起源于布莱克—斯科尔斯定价模型（以下记为B—S定价模型）。在此之前，许多学者都研究过这一问题。最早的是法国数学家路易·巴舍利耶（LowisBachelier）于1900年提出的模型。随后，卡苏夫(Kassouf，1969年)、斯普里克尔（Sprekle，1961年）、博内斯（Boness，1964年）、萨缪尔森（Samuelson，

3、1965年）等分别提出了不同的期权定价模型。但他们都没能完全解出具体的方程。本讲主要讨论以股票为基础资产的欧式期权的B—S定价理论。一、预备知识（一）连续复利我们一般比较熟悉的是以年为单位计算的利率，但在期权以及其它复杂的衍生证券定价中，连续复利得到广泛的应用。因而，熟悉连续复利的计算是十分必要的。假设数额为A的资金，以年利率r投资了n年，如果利率按一年计一次算，则该笔投资的终值为。如果每年计m次利息，则终值为：。当m趋于无穷大时，以这种结果计息的方式就称为连续复利。在连续复利的情况下，金额A以利率r投资n年后，将达到：。对一笔

4、以利率r连续复利n年的资金，其终值为现值乘以，而对一笔以利率r连续复利贴现n年的资金，其现值为终值是乘上。在股票投资中，我们一般都以连续复利计息。也就是说，现在金额为S投资股票，期望以复利μ计息，经过T时期后（T一般以年为单位），股票的期望价格为：，从而可得：。也就是说，股票价格的期望收益率为股票价格比的对数。11上海财经大学国际工商管理学院硕士研究生课程讲义（朱小斌）（二）股票价格的行为过程众所周知，股价运动一般没有规律可循，但我们可以用一种随机过程来刻划股价的运动。随机过程是指：如果某变量的价值以某种不确定的方式随时间变化，

5、则称该变量遵循某种随机过程。特别地，当一个随机过程变量的未来预测值只与该变量的当前值有关，而与该变量的过去值无关时，我们称该随机过程为马尔可夫过程。以下我们要介绍几种特殊的马尔可夫过程。1、基本的维纳过程要理解遵循维纳过程的变量z的行为，可以考虑在短时间间隔上变量z值的变化。设一个小的时间间隔长度为Δt，定义Δz为在Δt时间内z的变化。如果满足：（1）Δz（6.1）其中，是服从标准正态分布N（0，1）的一个随机变量；（2）对于任何两个不同的时间间隔Δt，Δz的值相互独立。则称变量z遵循基本维纳过程。由（1）知，Δz也服从正态分布

6、，且其均值为0，方差为Δt，标准差为。由（2)知，z遵循马尔科夫过程。设z值在时间T后的增量为，这可以被看作在N个长度为Δt的小时间间隔后z的变化的总量。其中，从而(6.2)其中是服从标准正态分布的随机抽样值，且相互独立。从而也服从正态分布，其均值为0，方差为，标准差为。另外，6.1式的极限形式可表示为：(6.3)2、一般化的维纳过程变量x的一般化维纳过程定义如下：(6.4)其中为常数，为同6.3式的基本维纳过程。项表示变量x在单位时间内的漂移量，其期望值为。项可被看作为增加到x轨迹上的波动率或噪声，其值为维纳过程的倍。在缺省项

7、的情况下，方程变为：对其积分可得：其中x0为变量x在零时刻的值。经过t时间后，x增加的值为。11上海财经大学国际工商管理学院硕士研究生课程讲义（朱小斌）6.4式的离散形式为：(6.5)从而，具有正态分布，且的均值为，方差为，标准差为。经过时间T后，值的变化具有正态分布，同样，可以求得其均值为，方差为，标准差为。方程6.4给出了一般性维纳过程。其漂移率（单位时间的平均漂移）的期望值为，方差率（即单位时间的方差）的期望值为。如图6.1所示。3、ITO过程（ITOprocess）ITO过程是一个更一般化的维纳过程，其数学表达式为：IT

8、O过程的期望漂移率和方差率都随时间的变化而变化。在B—S期权定价模型中，很重要的一点就是假定股价的变动遵循ITO过程。但如何定义这一过程的期望漂移率和方差率是关键。一个合理的假设就是股价S的变动可用瞬时期望漂移率为，瞬时方差率为的ITO过程来表达。表示为：(6.