初中因式分解基本方法--可打印

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1、初中因式分解的基本方法因式分解(factorization)因式分解是中学数学中最重耍的恒等变形之一，它被广泛地应用丁初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧,不仅是掌握凶式分解内容所必需的，而冃对丁培养学生的解题技能，发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法等.⑴提公因式法①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的〜.②提公因式法：一般地，如

2、果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.am+bm+cm=m(a+b+c)③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的•如果多项式的第一项是负的，一般要提岀“一”号，使括号内的第一项的系数是正的.⑵运用公式法①平方差公式：.a2—b2=(a+b)(a—b)②完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其屮有两项能写成两个数(或式)的平方和的形

3、式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍.③立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2).立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).③完全立方公式：a3±3a2b+3ab2±b3=(a±b)3④an-bn=(a-b)[a(n_1)+a(n_2)b++b(n_2)a+b(n_1)]am+bm=(a+b)[a(m'1)-a(m-2)b4-……・b(m・2)a+b(m・1)](m为奇数)⑶分组分解法分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法.分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式.⑷拆项、补项法拆

4、项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项)，使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形.例：分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)⑸十字相乘法①x2+(pq)x+pq型的式子的因式分解这类二次三项式的特点是：

5、二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和•因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+(pq)x+pq=(x+p)(x+q)这个很实用，但用起来不容易.在无法用以上的方法进行分解时，可以用下十字相乘法.例：x2+5x+6首先观察，有二次项，一次项和常数项，可以采用十字相乘法.一次项系数为1•所以可以写成1*1常数项为6.可以写成广6,2*3,・2*・3(小数不提倡)然后这样排列1-21・3(后面一列的位置可以调换，只要这两个数的乘积为常数项即可)然后对角相乘,1*2=2,1*3=3.M把乘积相加.

6、2+3=5,与一次项系数相同(有可能不相等，此吋应另做尝试)，所以可一写为(x+2)(x+3)(此时横着来就行了)我再写儿个式子，楼主再自己琢磨下吧.x2-x-2=(x-2)(x+1)2x2+5x-12=(2x-3)(x+4)①mx?+px+q型的式子的因式分解对于mx2+px+q形式的多项式，如果axb=m,cxd=qHad+bc=p,则多项式可因式分解为(ax+c)(bx+d)例:分解因式7x2-19x-6分析：1-—37・21x2+(-3x7)=-19解：7x2-19x-6=(x-3)(7x+2)⑸双十字相乘法难度较Z前的方法要提升许多。用

7、来分解形如ax2+bxy+c)，+dx+ey+f的二次六项式在草稿纸上，将d分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np=b,pk+qj=e,ink+nj=d,即第1,2列和第2,3列都满足十字相乘规则。则原式=(mx+py+j)(nx+qy+k)叱、+丿P、+J要诀：把缺少的一项当作系数为0,0乘任何数得0,例：cib+h2+a-b-2分解因式解：原式=OXlxy+db+b^+d—b—2=(OXtz+b+1)(d+b—2)=(b+1)(d+b—2)(7)应用因式定理：如果f(a)=0,贝Uf(x

8、)必含有因式(x-a)。如f(x)=x2+5x+6,f(-2)=0,则可确定(x+2)是x2+5x+6的一个因式。经典例题：1.分解因式