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1、多分辨率分析和Mallat算法摘要：多分辨率是小波优于傅里叶变换的重要特性，使小波成为“数学显微镜二多分辨率分析将小波基的构造统一起來。Mallat算法是计算离散栅格上小波变换的快速算法，它的出现使小波从理论上升的实践。本文主要对多分辨率分析和Mallat算法进行分析，并给出其应用仿真实例。关键词：多分辨率分析Mallat算法应用仿真实例1引言小波变换的多分辨率分析是建立在函数概念上的理论，多分辨率分析(MultiresolutionAnalysis,MRA)概念是由S.Mallat和YMeyer在前人人量工作的基础上于1986年提出的，
2、从空间的概念上形彖的说明了小波的多分辨率特性，随着尺度由大到小变化，在各尺度上可以由粗到细的观察图像的不同特征。在大尺度时，观察到图像的轮廓，在小尺度的空间里，则可以观察图像的细节。1989年，Mallat在小波变换多分辨率分析理论与图像处理的应用研究中受到塔式算法的启发，捉出了信号的塔式多分辨率分析与重构的快速算法称为马拉特(Mallat)算法。多分辨率分析和Mallat算法构成了小波基础理论的重要板块，多分辨率分析从理论上说明了小波的自适应变频特性，也是构造小波滤波器的基础，Mallat法使小波从理论走向工程，•其功绩相当于FFT在傅
3、里叶变换屮的作丿IJ。2小波基本概念定义2.1小波的定义。定义吋域具有紧支集(持续吋间短)且平均值为零(不含直流分量)的函数为小波，通常用妙(f)表示。定义式为通常，鸭(/)称为基本小波函数、母小波函数或小波母函数，简称小波函数、母小波等。由于上述定义是十分宽泛的，并不是所有满足定义的函数妙⑴都是具有价值的小波，若不加限制条件其逆变换也不一定存在，所以小波必须施加以限制条件，称为容许条件。定义2.2小波容许条件。假设妙(f)为小波母函数，则其傅里叶变换妙(。)应满足上述条件彼称为小波函数容许条件。定义2.3连续小波变换定义。假设/(r)G
4、L2(/?),妙(/)是连续小波母函数，叫M为连续小波某函数，则小波变换可定义为：WTf(a,h)=-^]离散小波定义即对尺度因了a和平移因了b分别离散化。3多分辨率分析和Mallat算法3.1多分辨率分析多分辨率分析首先并不是M用于小波分析上，它曾成功M用于地球物理学，S.Mallat和YMeyer在前人大量工作的基础上于1986年把多分辨率分析应用到小波上，统一了小波基的构造，冇人说只要学握多尺度就可以自己构造自己的小波。分析空间厂(/?)小的多分辨率分析是指厶2(尺)中满足下列条件的一个序列｛匕｝冋。①单调性：对任意JGZ,冇匕丘匕
5、―。②逼近性：Qv,.={o},Qvz=L2(/?)o圧Z>=-°°③伸缩性：/(r)eV.«/(2r)e伸缩性体现了尺度的变换、逼近正交小波函Riesz基存在性:存在0(0eVo,使得构成匕.的Ricsz基。(j、(J平移不变性：对任意kwZ,有①‘22r)22t-kl丿数的变化和空间的变化貝冇一致性。④GVyo3.2Mallat算法分解算法:假定信号/(x)GVj,即/(无)二工你"从⑴其屮系数｛勺水，keZ｝为已知。如果我们希望将它分解为在匕」和空间的两个分量Z和，即/(X)=为勺⑴+j-,k⑴也就是由已知序列｛勺*｝分别求出
6、j-1级的近似序列｛aj_u｝和j-1级细节序列｛心_以｝o重构算法：当序列｛ajk｝和｛dj为已知时，重构信号/(%)在V7+l空间中的分量列+
7、(x)就是利用这两个序列來计算序列｛aJ+u｝o由aj+,k=〈%+】(％),0+臥⑴〉=〈工(£,/%,/+dj®)g(%)〉=工ajJ@,0丿+1,J+工〈0jl90丿+1,J//pq：仿真程序与仿真结果4.1一维信号的Mallat算法仿真程序与仿真结果程序：%一维信号的分解与重构loadnoisblocx=noisbloc;l=length(x);subplot(3,1,1);plot
8、(x);title('原始信号')%信号的一级分解与重构[swa,swd]=swt(x,1,'db5');subplot(3,1,2);plot(swa);title(，低频');subplot(3,1,3);plot(swd);title('高频');A0=iswt(swa,swd,'db5,);err二norm(x-AO);figure(2);subplot(3,1,1);plot(x);titleC原始信号');subplot(3,1,2);plot(AO);title('重构信号');subplot(3,1,3);plot(x-A
9、O);title('误差信号');%信号的单支重构nu1cfs二zeros(si刁e(swa));Al=iswt(swa,nulcfs,'db5');Dl=iswt(nulcfs,swd,'d
