交通流问题数学模型的初级讨论

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1、交通流问题数学模型的初级讨论材料科学与工程01级3010921002郭杨3010921074柯小行一.一.摘要本篇用微观分析着眼于交通流运行中每一辆机动车的运动情况。每一辆车被当作一个质点来处理。这种处理方法的前提是已知每一辆车的位置，速度，和加速度。本篇只讨论最简单的模型，即理想化为在一条平直公路上行驶的车辆，车辆之间不允许超车。在t〈二0的时候，所有车辆均以匀速行驶。在t=0+时，领头的车开始偏离u0—段时间，这样就对原来稳定的状态产生了波动，使他们调节自身的速度来协调这种波动。主要有以下两个方面：1.1.对于连着的两

2、辆车，在哪种情况下，前一辆车的偏离行为会导致后一辆车的过度补偿行为？即后一辆车的调整是否超过了所需要的调整范围，从而产生了一种类似于钟摆式简谐运动的振动。若这种振动的幅度不随时间衰减，就形成了车流问题的“局部稳定”。2.对于一列车辆，在哪种条件下，领头车辆引起的小小扰动会随着他的继续行驶而增大，从而引起这一列中车辆之间的碰撞？这是车流问题中的渐进稳定性问题。为了解决这两个问题，本篇将具体讨论解决时间滞后的不同方程。二背景现定社会的日常活动在极大程度上依赖于安全高效的交通流。在过去的一些建模的例子中都有不同程度的讨论这个问题

3、。它能帮助降低交通阻塞和交通事故，从而实现更好的路况,设计出更好的交通灯体以及行Z有效的交通法规。木篇从简单的模型出发，分层逐步细化模型的讨论及求解，以期能对交通流问题作另一种特别的阐述。三.建模及求解1.1.瞬时速度的控制取公路为x轴，车辆运动的方向为x正向。X”°)为T时刻第n辆车的位置。匕⑴二北,(0冃匕⑴二况。(/50)为方便起见，取一个参考系，以如的速度为参考速度知(f)=匕(0_况()这样Un(0=°a5°)即为初始条件做第一个近似处理，假设第N辆车的司机根据它与前一辆车的相对速度来调整自身车速,则有£+1=2

4、仏一％I),n=l,2,3,...N(1.2)作为一个简单的模型，假设所有司机反应灵敏程度相同，即久一致，是一个常数，据有关实验，(GENERALMOTORS所做的实验)，久介于°・3~04厂之间，取A=0.375-1一旦领头的车偏离兔)则由初始条件及通式(6.2)可依次算111""(n=l,2,3,...N)对于整个车流问题，我们关心的是它的稳定性，即领头车辆的扰动会不会引起放大，因此我们假设绚(°=“11曲并展开成傅力叶级数，有w2(r)=ue~；Jsin0?+sin(ar一%)].u=+三COS0,(1.4)(1.5

5、)其中U为振幅，02为初相，且才「由于—g时，闷由(13)有w3(/)=u2{[sin(20)+曲k刀+sin符-琳)}同理

6、w3(Z)

7、<«2；以此类推，t^^uk

8、需的动作。因此，修改(1,2)式Wn+1(r)=A^n-D-w„+1(t-T)](t>l)n=l,2,N-l(2.1)根据实验数据，滞后时间T在1・°~2.2$范围内，另有辅助条件，即初始条件n=l,23・・・N-l(2.3)(2.2)况”(/)=0,t<(n-l)T在大多数情况下，领头车辆的运动状态为已知量定义/+]G)=£e~stuk+[(t)dt=们宀如(f)dt由于纬+

9、⑴三0对于t

10、分存在，在(2.1)两边同乘以£一"上积分，有sU/l+lG)=Ae~sTUnG)-e~xTUll+iG)]并在(0,8)I+se'T在u{(t)=sincot的情况下，可得(2.6)•fCDsincotdt=—+co(2.7)妁($)=且由(2.6)(2.7)得W}(s)兄+sF此处Ug是妆(°的拉普拉斯变换，不能从手册中找到，并且得到的结果预计也回很复杂，而很难得出有用的结论，因此，考虑用初等的方法解决。3,对滞后时间的近似处理对(2.1)(2.2)进行泰勒展开17(3.1)(3.2)叭(t-T)=畋⑴+(-T)uk

11、(r)+-(-D2iik⑴+…乙.若T不大，可以保留前两项得出近似解(1一财)心+仇*产加”⑴一巩(『)]对于绚=sincot这个一阶普通微分方程，在冲1时的通解为(3.3)(3.4)u2(r)=C2e~；J/(l~AT)+Asin+B2cosm人_兄2(i+/严)一/丸了2~A2(l+^2T2)-6y