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1、如何求定积分中被积函数的原函数山东省高密市康成中学管冃军邮编261500电话13589151893信箱mjunguan@163.com利用微积分基木定理以求定积分的关键是求出被积函数的原函数，即寻找满足FrM=/(兀)的函数F(x)•如何求出一个被积函数的原函数呢？我们知道求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算，所以要求被积函数的原函数，首先要明确它们之间的关系：原函数的导数就是被积函数，并且导函数是唯一确定的，而被积函数的原函数是不唯一的.即若FV)=/(%),则被积函数/(x)的原函数为F(x)+c(c为常数).类型一被积函
2、数为基本初等函数的导数求这种类型被积函数的原函数，关键是要记准上述基木初等函数的导数公式，找到对应的被积函数・由基木初等函数的导数公式可知：若/⑴是被积函数，F⑴为原函数，贝IJ有：若f(x)=k，则F(x)=kx+c(k,c为常数)；若/(x)=r,则F(x)=-^—xm+l+c{m-l,m,c为常数)；m+1若=则F(x)=x+c(c为常数)；若f(x)=ex,则F(兀)=『+c(c为常数);X若f(x)=ax，则F(x)=-^—+c(其中Q>0,dHl,a,c为常数);a若/(X)=sinx,贝ijF(x)=一cosx+c
3、(c为常数);若/(x)=cosx,贝ijF(x)=sinx+c(c为常数).例1计算以下积分：(1)f(2x2--)dx；(2)f(sinx-sin2x)dx.分析：解决问题的关键是找出被积函数的一个原函数，根据积分的性质，先求出一些简单•被积函数的原函数，然后再进行相应的运算.显然，只由熟练掌握常见函数的导数公式，才会比较熟练地找出相应的原函数的一个原函数为1?,丄的一个原函数为lnx；sinx的一个原函数为3x-cosx,sin2x的一个原函数为cos2x.217解：(1)函数y=2x2——的一个原函数是y=—x3-x,x3所
4、以［2(2?--)Jx=(-?-lnx)2=(—-ln2)-(--lnl)=—-ln2・山x31333x-sin2x)dx=(-cosx+—cos2x)评注：在求这种类型的定积分时，要熟记基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则，利用这些公式的逆运算便可求出原函数.在计算定积分时我们一般取c=0时对应的原函数，这样可减少运算量.类型二被积函数为分段函数根据定积分的定义以及微积分基本定理，定积分可以分解为多个区间上的定积分的和，所以求分段函数的原函数，必须根据被积函数的定义在不同区间上进行求解，然后根据定积分的运算法则进行计算.例2求下列
5、定积分：71(2)4x-2tt,xe[0,—]cosxe2分析：这两个小题实质上都是求分段函数的积分，可以利用定积分的性质，根据函数的定义域将积分区间分成儿段，代入相应的解析式，分别求出积分值，相加即可.-2x+3,x<—解：(1)VI3-2xl=J22x—3,兀>—2+(兀2—3兀)=—.i2232・・・(13—2兀丨dx=F(3—2x)dx+&(3—2x)dx=(3x-x2)2nn(2)f(x)dx=Ff(x)cbc+1、f(x)dx=f(4x一2兀)dx+]cosxdx22=(2x2一2龙兀)+sinx”2丄疔一龙'+0+sin龙
6、一sin兰二一丄7i2-222[f{x)dx=--7T2一1.评注：分段函数在不同的取值范围内对应不同对应法则的一个函数，不是多个函数，所以求解这类函数的原函数时，要根据分段函数的定义，把被积函数分解到不同的区间内，分别求出原函数,然后利用定积分的运算性质，把不同区间内的定积分求和即可.类型三被积函数为积或商的形式这种形式屮的被积函数，很难直接求击原函数，需要对被积函数进行化简，转化为一些基木初等函数的导数的和或差，然后利用定积分的运算性质进行求解.例3求f（f）g分析：该积分屮的被积函数式比较复杂，无法直接求出原函数，所以应先化简，转
7、化为一些被积函数的和或差，然后求定积分.解析:・・(兀+1)(兀2—3)?+x2-3x-31111—=—XH叮中4十X卩1Jl(~x)dx+3x23兀233…2f21f21C2
8、g+f(-严n-尹=(^)
9、>(
10、x)
11、：-lnx
12、：-(4)
13、：=-+-+lnl-ln2--=--ln2.2323所以评注：这种类型的定积分，仅限于被积函数由基本初等函数的导数进行简单的加、减运算得到,可通过化简转化为几个被积函数的和或差的形式，根据定积分的运算性质，原函数就等于化简后的几个被积函数的原函数的和或差.对于较为复朵的被积函数的原函数的求解，要等到
14、我们进入大学深造进一步研究.
