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时间:2019-08-29
《第二讲函数地极限典型例题》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、实用文档第二讲函数的极限一内容提要1.函数在一点处的定义使得,有.右极限使得,有.左极限使得,有.注1同数列极限一样,函数极限中的同样具有双重性.注2 的存在性(以为例):在数列的“”定义中,我们曾经提到过,的存在性重在“存在”,而对于如何去找以及是否能找到最小的无关紧要;对也是如此,只要对给定的,能找到某一个,能使时,有即可.注3 讨论函数在某点的极限,重在局部,即在此点的某个空心邻域内研究是否无限趋近于.注4 .注5 ,有,称为归结原则――海涅(Heine)定理.它是沟通数列极限与函数极限之间的桥梁.说明在一定条件下函数极限与数列极限可以相互转化.因此,利用定理必要性的
2、逆否命题,可以方便地验证某些函数极限不存在;而利用定理的充分性,又可以借用数列极限的现成结果来论证函数极限问题.(会叙述,证明,特别充分性的证明.)注6 ,,有.2 函数在无穷处的极限设在上有定义,则使得,有.使得,有.使得,有.文案大全实用文档注1 .注2 ,有.3 函数的有界设在上有定义,若存在一常数,使得,有,则称在上有界.4 无穷大量使得,有.使得,有.类似地,可定义,,,等.注 若,且和,使得,有,则. 特别的,若,,则.5 无穷小量若,则称当时为无穷量.注1可将改为其它逼近过程.注2,其中.由于有这种可以互逆的表达关系,所以极限方法与无穷小分析方法在许多场合中
3、可以相互取代.注3,在的某空心邻域内有界,则.注4,且当足够大时,有界,则.注5在某一极限过程中,无穷大量的倒数是无穷小量,非零的无穷小量的倒数是无穷大量.6函数极限的性质以下以为例,其他极限过程类似.(1),则极限唯一.(2),则,使得,有.文案大全实用文档(3),,且,则,使得,有注这条性质称为函数的“局部保号性”.在理论分析论证及判定函数的性态中应用极普遍.(4),,且当时,则.(5),,则()要求:①进行运算的项数为有限项;②极限为有限数.7夹逼定理若使得,有,且,则.8Cauchy收敛准则函数在的空心邻域内极限存在使得,当,时,有.9无穷小量的比较设,,且,则(1
4、)当时,称为的高阶无穷小量,记作;(2)当时,称为的低阶无穷小量;(3)当且时,称为的同阶无穷小量.特别的,当时,称和为等价的无穷小量,记作~.注1上述定义中,自变量的变化过程也可用,,,,之一代替.注2当时,常见的等价无穷小有:~,~,~,~,~,~文案大全实用文档注3在用等价无穷小替换计算极限时,一般都要强调限定对“乘积因式”的等价替换.因为:若~(),则或(为某逼近过程).而对于非乘积因式,这样的替换可能会导致错误的结果.注4在某一极限过程中,若为无穷小量,则在此极限过程,有~.10两个重要极限(1);(2).二、典型例题例用定义证明下列极限:(1);(2).文案大全
5、实用文档例 ,证明:(1)若,则有;(2).文案大全实用文档例 设是上的严格严格单调函数,又若对(),有,试证明:.例 函数在点的某邻域内有定义,且对(),且(),有,证明:.文案大全实用文档例设函数,,满足(),且()则()问:在题设条件下,是否有?答:否.如.例设函数在上满足议程,且,则().文案大全实用文档例求下列函数极限(1)();(2)();(3).文案大全实用文档例求下列极限(1);(2);(3).文案大全实用文档例求下列极限:(1);(2).文案大全实用文档例求下列极限:(1);(2).例求下列极限:(1);文案大全实用文档(2);(3)设(),求.例(1)已
6、知,求常数;(2)已知,求.文案大全实用文档文案大全
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