函数极限的定义典型例题分析教案

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1、第三节函数极限的定义•自变量趋向无穷大时函数的极限•自变量趋向有限值时函数的极限•函数极限的性质一一、一、、自变量趋向无穷大时函数的极限、自变量趋向无穷大时函数的极限sinx观察函数当x→→→∞∞∞时的变化趋势.x播放通过上面演示实验的观察:sinx当x无限增大时,f(x)===无限接近于.0x描述性定义:::函数y===f(x)在x→→→∞∞∞的的过程中的过程中,对应函数值f(x)无限趋近于确定值A.那么A叫做函数f(x)当x→→→∞∞∞时的极限.问题:如何用数学语言刻划函数““无限接近“无限接近”.说说法说法()2：：只：只只要只要x足足

2、够足够够大够大大，大，fx()−−−A很很小很小小很小很很小很小小（小（（想（想想要想要要多要多多小多小小就小就就有就有有多有多多小多小小）小）...用用：用：fx()−A<εεεε表表示表示fx()−A任任意任意小;x>>>X表示x→→→∞∞∞的过程.定义1111如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数εεε((((不论它多么小不论它多么小),),),总存在着正数X,,,使得对于适合不等式,使得对于适合不等式x>>>X的一切x,,,所对应的函数值,所对应的函数值f(x)都满足不等式f(x)−−−A<<<εεε,,,,那末常数A就叫函数f

3、(x)当x→→→∞∞∞时的极限,,,记作,记作limf(x)===A或f(x)→→→A(当x→→→∞∞∞)x→→→∞∞∞注意：.1εεεε反映f(x)与A的接近程度，εεεε可以任意小说明f(x)与A可以任意接近..2X反映在x无限增大的过程中，x增大到什么程度就能使f(x)与A的距离小于εεε，X依赖于εεε."εεε−−−X"定义limf(x)===A⇔x→→→∞∞∞∀∀∀εεε>>>0,∃∃∃X>>>0,使当x>>>X时,恒有f(x)−−−A<<<εεε.几何解释:sinxy===xεεεA−−−X−−−εεεX当x>>>X时,函数y=

4、==f(x)图形完全落在以直线y===A为中心线,宽为2εεε的带形区域内.sinx例证明lim===.0x→→→∞∞∞xsinxsinx1证∵−−−0===<<>>0,要使<<<εεε,只要x>>>.xεεεε1sinx∴∴∴当x>>>时,−−−0<<<εεε,εεεxsinx故lim===.0x→→→∞∞∞x注注：注：有时需区分x趋于无穷大的符号。x例.lim2===+∞x→→→+∞xlim2===0x→→→−∞性质:limf(x)===A⇔limf(x)===limf(x)===A.x→→→∞∞∞x→→→+∞x

5、→→→−∞练习考察下列极限并说明理由..1(1)lim;()limarctan2x;x→∞xx→∞x()lim32;()limarccot4xx→−∞x→+∞π解解：解：：(：(((1111))))0000;()2;2();30()40一般地说，，如果，如果lim()fx=c,则直线y=cx→∞是函数y=fx()的图形的水平渐近线.二二、二、、自变量趋向有限值时函数的极限、自变量趋向有限值时函数的极限描述性定义:::函数y===f(x)在x→→→x的的过程中的过程中,对0应函数值f(x)无限趋近于确定值A.称A为函数y===f(x)当x→→→

6、x时的极限.0说说法说法法(2)法(2)(2)：(2)：：只：只只要只要要充要x充充分充分分接分接接近接近近，近x，0fx()与与的与A的的距的距距离距离离就离就就很就很很小很小小很小很很小很小小(小(((要要要多要多多小多小小有小有有多有多多小多小)))数数学数学学表学表表述表述述：述：：只：只只要只要要充要x充充分充分分接分接接近接近近，近x，(0

7、果果存在果存在常数AAA，A，，对于任意给定的正数，对于任意给定的正数εεε,,,总存在正数,总存在正数δδδ使得满足0<<

8、δδ依赖于εεε.)2(由定义可知极限limf(x)===A存在与否与x→→→x0f(x)在点x是否有定义无关。0"εεε−−−δδδ"定义∀∀∀εεε>>>0,∃