考研数学题及答案 2009数学二--2

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1、12a979957938a7367ea6e428d3ae25b5.doc故为的极小值点，此时，又当时，；时，，故在上递减，在上递增。而，，所以在区间上的最小值为。(14)设为3维列向量，为的转置，若矩阵相似于，则【答案】【解析】因为相似于，根据相似矩阵有相同的特征值，得到得特征值是而是一个常数，是矩阵的对角元素之和，则三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求极限【解析】（16）（本题满分10分）第8页共8页12a979957938a7367ea6e428d3ae25b5.doc计算不定

2、积分【解析】令得（17）（本题满分10分）设，其中具有2阶连续偏导数，求与【解析】第8页共8页12a979957938a7367ea6e428d3ae25b5.doc（18）（本题满分10分）设非负函数满足微分方程，当曲线过原点时，其与直线及围成平面区域的面积为2，求绕轴旋转所得旋转体体积。【解析】解微分方程得其通解为任意常数又因为通过原点时与直线及围成平面区域的面积为2，于是可得从而于是，所求非负函数又由可得，在第一象限曲线表示为于是D围绕轴旋转所得旋转体的体积为，其中（19）（本题满分10分）求二重积分，其中【解析】由得，第8页共8页12a979957938a7367ea6e

3、428d3ae25b5.doc（20）（本题满分12分）设是区间内过的光滑曲线，当时，曲线上任一点处的法线都过原点，当时，函数满足。求的表达式【解析】由题意，当时，，即，得，又代入得，从而有当时，得的通解为令解为，则有，得，故，得的通解为由于是内的光滑曲线，故在处连续于是由，故时，在处连续第8页共8页12a979957938a7367ea6e428d3ae25b5.doc又当时，有，得，当时，有，得由得，即故的表达式为或，又过点，所以。（21）（本题满分11分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数在上连续，在可导，则存在，使得（Ⅱ）证明：若函数在处连续，在内可导，且，则存在，且。【

4、解析】（Ⅰ）作辅助函数，易验证满足：；在闭区间上连续，在开区间内可导，且。根据罗尔定理，可得在内至少有一点，使，即（Ⅱ）任取，则函数满足；在闭区间上连续，开区间内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在，使得……又由于，对上式（*式）两边取时的极限可得：第8页共8页12a979957938a7367ea6e428d3ae25b5.doc故存在，且。（22）（本题满分11分设，（Ⅰ）求满足的所有向量（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量，证明：线性无关。【解析】（Ⅰ）解方程故有一个自由变量，令，由解得，求特解，令，得故，其中为任意常数解方程故有两个自由变量，令，由得第8页共8页12a979957

5、938a7367ea6e428d3ae25b5.doc求特解故，其中为任意常数（Ⅱ）证明：由于故线性无关.（23）（本题满分11分）设二次型（Ⅰ）求二次型的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型的规范形为，求的值。【解析】（Ⅰ）（Ⅱ）若规范形为，说明有两个特征值为正，一个为0。则1)若，则，，不符题意2)若，即，则，，符合第8页共8页12a979957938a7367ea6e428d3ae25b5.doc1)若，即，则，，不符题意综上所述，故第8页共8页