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《芝罘区数学数列求通项7法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、数列求通项方法汇总1、观察法:2、定义法：3、公式法：若已知数列的前n项和S”与色的关系，求数列仏｝的通项可用公式u屮(«=1)(空2)例1、己知数列｛“｝的前n项和Sn满足d”+2S”S”_
2、=0(«>2),ai=
3、,求g”.解・・•当心2时，a”=S”—S_・・・S”-S_+2S“S_=0,即右—亠・・・数列
4、J_｝是公差为2的等差数列,又Si=a]=*,・・"存・・•当叱时,Cln=-2S”S“_i例2、数列｛色｝的各项都为正数，且满足S”=2/7（/?一1）A—=2,A—=2+（n-1）X2=2n,解由S
5、/气2("“)得4%=4(S曲-S”)=(%厂1)2-仏厂1『化简得（Q”+i+勺）（色+1一a“一2）=0,因为色>0,/.an+]-an=2,又45,=4a}=（^（-1）2得q=l,故｛色｝是以1为首项，2为公差的等差数列，所以色=2^—1.4、叠加法:一般地，对于型如«/I+1=atl+f(n)类的通项公式，只要/(1)+/(2)+・・・+/⑷能进行求和，则宜采用此方法求解.解题思路：利用累差迭加法，将an-an_｝=/(n-1),an_x-an_2=f(n-2),…，°2-％=/(1),各式相加，正负抵
6、消，即得例1、在数列｛%｝中，％=3,%=an+,求通项公式an・11n(n+1)解：原式可化为：。卄1=an+——nn+111=a.H334逐项相加得：Cln=d]+1,故Q”=4.nn例2、已知数列｛a“｝满足an+1=an+2-3n+1,a,=3,求数列｛%｝的通项公式.解：由an+
7、=an+2•3n+1,得an+j—an=2,3n+1,则a*=（an_an-l）+（an-l~3n-2）+***+（33_a2）+（a2_ai）+ai=（2・3门+1）+（2・3心+1）+…+（2・32+l）+（2・3】+1）
8、+3=2（3"」+3n-2+・・・+32+3j+（/i—1）+3,Wa„=2―+n+2=3"+n-l.例3、已知数列｛色｝满足a”+]=2a”+2"+i+3"-lay=52,求通项a“.解：由陥产2给+2叫3-1，两边同除以严，得笋一茅备一占+1(心)，.,ciCI1相加，得—-V=T匸-丄+12"2”+•••+『一丄■1—+2+…+n-1匕丿■22■又由已知求得a〕=6,an=/?•2"+3"+l(nwN”)•5、叠乘法：一般地,对于型如a,J+1=/(n)-an的类型，当/(1)-/(2).-.-/(/1)的
9、值可以求积时，宜采用此方法.解题思路：由°”=f(n1；"n-1),=f(n2),a2=f(l),将各式左右两边分别相厲-25乘，得上「.也耳..…^=/(/i-l)./(«-2).../(l),即得鑫.山-1an-2如例1、在数列｛為｝中，吗=£,色=仝二22),求。”・H-1，a”=“7?+12〃+117解：由条件得a2=t*^i»=7■将这A7-1个式子相乘化简得：〜=-—-n(n+1)例次已知数列｛匕｝满足曾+严2(/2+1)5〃X%0=3,求数列｛色｝的通项公式.解：因为％+]=2S+l)5“xa”，=
10、3,所以％工0,则也=25+1)5",故5…他・°2.q=[2S1+1）5心][2⑺2+1）5心卜.[2（l+l）x5】]x3勺5n(n-l)=2心[/i(n-l)•3x2]x5(”-】)+(“-2)+.・.+2+1x3=3x2,,-,x5^5,n（fi-l）所以数列｛atl｝的通项公式为％=3xT~xx5丁xn!.6、递推法（迭代法）：例1、已知数列｛%｝中，a】=1,-an=n,求通项公式％•（也满足叠加法）解：由己知，得d”=d”_]+（72-1）=°“_2+（〃一1）+（〃一2）•••=同+(〃—1)+(
11、h—2)+••・+]=]+门2)=口_n+212例2、设数列｛色｝是首项为1的正项数列,且（n+1）此
12、一加：+%£求数列的通项公式.（也满足叠乘法）解：由题意知也=1,色〉0,将条件变形,得(%+i+4“)[S+i)陽+i-叫得％+1+色工0,所以％+iS±1Yl——,到此nJ釆用:77+1法一:n-an=—^-1nn--2~7~'~^an~2n-巴二2••…-ar从而aJn-121n法二a2_n-ln-2axnn-1所以。_丄n—n法三：由纽=丄，得an刃+1(n+l)d”+inan1，故｛加讣是常
13、数列,nan=lxajan点拨：解法一是迭代法，这是通法；解法二是叠乘法，适合由条件-^=于（〃）求通项an-的题型；解法三是构造法（简单+经典），根据条件特点构造特殊数列求通项，技巧性较强,体现了转化思想.例4、已知数列佃｝满足an+1=3an+2.3n+l,at=3,求数列｛a.｝的通项公式.解：由已知，得（两边除以3n+1）,得冲=空+?+亠，即冲—空=2+丄，3
