类型⑦ 平行四边形及矩形、菱形、正方形存在性问题探究

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1、类型⑦平行四边形及矩形、菱形、正方形存在性问题探究，备考攻略）C问题分类在平行四边形有关存在性问题屮，常会遇到这样两类探究性的问题：1•已知三点的位置，在二次函数上或在坐标平面内找一动点，使这四点构成平行四边形（简称“三定一动”）.2•已知两个点的位置，在二次函数上或在坐标平面内找两个动点，使这四点构成平行四边形（简称“两定两动”）.平行四边形的这四个点有可能是定序的，也有可能没有定序.C学生常见错误1•确定动点位置时■出现遗漏.2•在具体计算动点坐标时出现方法不当或错解.基本思路1・分清题型（属于三定一动还是两定两动，因为这两种题型的分类标准有所

2、不同）.2•分类讨论且作图（利用分类讨论不重不漏的寻找动点具体位置）.3•利用几何特征计算（不同的几何存在性要用不同的解题技巧）.可以把存在性问题的基本思路叫做“三步曲”:一“分”二“作”三“算”・「平行四边形题型攻略1・如果为“三定一动”，要找出平行四边形第四个顶点，则符合条件的有3个点;三个点的找法是以三个定点为顶点画三角形，过每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生所要求的3个点.2•如果为“两定两动”，要找出平行四边形第三、四个顶点，将两个定点连成定线段，将此线段按照作为平行四边形的边或对角线两种分类讨论.平行四边形解题技巧1•若平行

3、四边形的四个顶点都能用坐标来表示，则直接利用坐标系中平行四边形的棊本特征：即对边平行且相等或对边水平距离相等和竖直距离相等列方程求解.2•若平行四边形的四个顶点中某些点不能用坐标表示，则利用列方程组解图形交点的方法解决.3・灵活运用平行四边形的屮心对称的性质，也可使问题变得简单.4•平移坐标法.先由题目条件探索三点的坐标（若只有两个定点，可设一个动点的坐标）.再画出以三点为顶点的平行四边形，根据坐标平移的性质写出第四个顶点的坐标.最后根据题目的要求（动点在什么曲线上），判断平行四边形的存在性.c特殊平行四边形解题技巧1•矩形：增加对角线相等和邻边垂

4、直的性质，还可以转化为直角三角形的存在性问题.2•菱形：增加四边相等和对角线垂直的性质，还可以转化为直角三角形或等腰（等边）三角形存在性问题.3•正方形：兼顾以上性质，还可以转化为等腰直角三角形存在性问题.，典题精讲）♦平移坐标法【例1］如图，在平面直角坐标系屮，已知抛物线y=—X?—2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P，如果以点P，A，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标.【解析】P，A，C三点是确定的，过APAC的三个顶点分别画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个符合条件的点D（如图）.由y=—x

5、2—2x+3=—（x+l）2+4，得A（-3，0），C（0，3），P（—l，4）.由于A（-3，0）墾=^C（0，3），所以P（—1，4）鑒当D］（2，7）.由于C（0，3）宝垄人（一3，0），所以P（-l，4）亘=垄。2（—4‘1）.由于P（-l‘4）业=』C（0，3），所以A（-3，0）复』°3（—2‘-1）.我们看到，用坐标平移的方法，远比用解析式构造方程组求交点方便多了.【答案】点D的坐标为（2，7）或（一4，1咸（一2，-1）.♦两定两动的分类讨论（对点法的应用）【例2］如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2—2ax—3a（a

6、<0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线1：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC.（1）直接写出点A的坐标，并求直线1的函数解析式；（其中k，b用含a的式子表示）（2）点E是直线1上方的抛物线上的动点，若AACE的面积的最大值为弓，求a的值；⑶设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四备用图【解析】1•过点E作x轴的垂线交AD于F，那么△AEF与ACEF是共底的两个三角形.1•以AD为分类标准讨论矩形，当AD为边时，AD与QP平行且相等，对角线AP=QD;当

7、AD为对角线时，AD与PQ互相平分且相等.【答案】解：⑴由y=ax2—2ax—3a=a(x+l)(x—3)»得A(—1，0).由CD=4AC，得Xd=4.所以D(4，5a).由A(—1»0)，D(4，5a)，得直线1的函数解析式为y=ax+a；(2)如图②，过点E作x轴的垂线交AD于F.设E(x»ax2-2ax—3a)»F(x»ax+a)»那么EF=ye—Yf=^2—3ax—4a.由Saace=Saaef一Sacef=

8、eF(xe—xA)—

9、eF(xe—xc)=

10、eF(xc—xA)=

11、(ax2—3ax—4a)■a258-2252552得ZXACE面

12、积的最大值为一爺1.解方程一ya=^，得a=-

13、；(3)已知A(-l，0)，D(4，5a)，xp=1，以AD为分类标准，分