东莞威远职中文化课数学精品教案：集合与简易逻辑

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1、东莞威远职中文化课数学教案：集合与简易逻辑一、基础知识定义1一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合屮的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素兀在集合A中，称兀属于A,记为xeA9否则称兀不属于A,记作A。例如，通常用N,乙Q,B,分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、止有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用0来表示。集合分冇限集和无限集两种。集合的表示方法有列举法：将集合屮的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如｛1,2,3｝；描

2、述法：将集合中的元索的属性写在大括号内表示集合的方法。例如｛冇理数｝,｛xx>0｝分别表示有理数集和正实数集。定义2子集：对于两个集合A与氏如果集合A屮的任何一个元素都是集合3中的元素，则A叫做B的子集，记为AoB,例枷NuZ。规定空集是任何集合的子集，如果A是B的子集，B也是力的子集，则称人与B相等。如果力是B的子集，而且B中存在元素不属于人，则A叫B的真子集。定义3交集,定义4并集,定义5补集,定义6差集,定义7集合｛A^B={xAJB={x

3、xgA或兀eB}・若则C,二｛兀AB={xxwA,JL

4、xB}oxgA且兀gB}.xg厶且兀电A｝称为A在/中的补集。xa

5、e(AQB)^xe(/inC),即xe(AnB)U(/inC)；反乙xe(/inB)U(AnC),则xe(AAB)或xw(AP)C),即xeAH.xeBeC,即xeA且xw(BUC),即xeAA(BUC).(3)若xwC]AUC

6、B,则xgC]A或xwC

7、B,所以兀eA或兀eB,所以兀纟(4门3),又xw/,所以xeC.(AAB)，即G4UGB匸C】G4门B),反Z也有G(AgcC”B.定理2加法原理：做一件事有斤类办法，第一类办法中有仙种不同的方法，第二类办法中有®种不同的方法，…，第斤类办法中有叫种不

8、同的方法，那么完成这件爭一共有N=mA+m2+•••+/”种不同的方法。定理3乘法原理：做一件事分〃个步骤，第一步有“种不同的方法，笫二步有加2种不同的方法，•…第斤步有叫种不同的方法，那么完成这件事一共有N=mx•叫加“种不同的方法。二、方法与例题1.利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。例1设M=(aa=x2-y2,x,yeZ］,求证：(1)2k—WM,(kwZ)；(1)4k—2wM,(kwZ)；(3)若”wM,qwM,贝ljpqeM.［证明］(1)因为k.k-leZ，且2k-l=k2-伙—I

9、)',所以2k-leM.(1)假设4R—2wM仗wZ),贝I」存在x,ywZ,使4R—2=/_)/,由于兀一)，和兀+y有相同的奇偶性，所以x2-y2=(x-.y)(x+y)是奇数或4的倍数，不可能等于4k-2,假设不成立，所以4k-2M.(2)设p=x2-y2,q=a2-b2,x,y,a,bgZ,则pq=(x2-y2)(a2-b2)=a2a2+y2b2-x2b2-y2a2=(xa-yb)2-(xb-ya)2eM(因为xa-yaeZ,xb-yaeZ)。1.利用子集的定义证明集合相等，先证A^B,再证8匸力

10、，则力二B。例2设A,3是两个集合，又设集合M满足ACM=B^M=A^B,AJBJM=AJB,求集合M(用4,B表示)。【解】先证(AnB)cM,若x^(ApB)f因为A^M=A^Bf所以xeAHM.xeM,所以(XAB)oM；再证Me(AdB),若xeMf则xeAJBJM=AJBA)则xeACM=ACB；2)若xwB,则xgBQtW=ACBo所以Mo(AAB).绕上，M=ACB.1.分类讨论思想的应用。例3A={xx2-3x+2=0},B={xx2-ax+a-i=0},C={xx

11、2-inx-^-2=Q},若AJB=A,AHC=C.求a,m.【解】依题设，A={1,2},再由x2-ax+a-l=0解得x=a-l或兀=1,因为AJB=A,所以BoA,所以a—IwA,所以a—1=1或2,所以a=2或3。因为ApC=C,所以CoA,若C=0,贝U=m2-8<0,即一2血v加v2JI,若Ch0,贝iJleC或2wC,解得/7?=3.综上所述,a=2或a=3；加=3或一2V2