数学竞赛教案讲义(1)——集合与简易逻辑

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1、第一章集合与简易逻辑一、基础知识定义1—•般地，一组确定的、互界的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对彖称为元素，用小写字母来表示，元素兀在集合人中，称兀属于A,记为xGA,否则称兀不属于记作A。例如，通常用N,Z,Q,B,Q"■分别表示口然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元索的集合称为空集，川0來表示。集合分有限集和无限集两种。集合的表示方法有列举法:将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如⑴2,3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方

2、法。例如{有理数},{xx>0}分别表示有理数集和正实数集。定义2子集：对于两个集合人与B,如果集合人中的任何一个元素都是集合B中的元素，则A叫做B的子集，记为Ag3,例如NuZ。规定空集是任何集合的子集，如果&是B的了集，B也是4的了集，则称人与B相等。如果A是B的了集，而中存在元素不属于A,则人叫3的真子集。定义3交集，ACB={xxGA.MxeB}.定义4并集，AjB={x兀wA或乂wB}.定义5补集，若人匸/,则C]A={x

3、xw/,且兀e4}称为4在/中的补集。定义6差集，AB={xxeA,1LXB}o定义7集

4、合{x

5、^z

6、（AU〃）.【证明】这里仅证（1）、（3）,其余由读者白己完成。（1）若xwAr）（〃UC）,则xwA,且xwB或xwC,所以xG（AAB）或xe（AAC）,即xe(An^)U(AnC)；反之，xG(AA

7、B)U(AnC),则xe(AAfi)或xw(AnC),即xeARxeB或xwC,即XGA且兀w(BUC),即兀wA"(BUC).(3)若x€CjAUCjB，则xGC]A或xwC]B，所以xA或兀，所以x(AAB),又XG/,所以xeC}(AAB)，即C4UGBuG(ACB),反Z也有Cj(AguCiAUGB.定理2加法原理：做一件事有〃类办法，第一类办法中有加

8、种不同的方法，第二类办法中冇加2种不同的方法，…，笫〃类办法中有加”种不同的方法，那么完成这件事一共有N=+®+•••+"?“种不同的方法。定理3乘法原理：做一件事分斤个步骤

9、，第一步有“种不同的方法，笫二步有加2种不同的方法，…，第斤步有九种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m{-m2mn种不同的方法。二、方法与例题1.利用集合小元素的属性，检验元素是否属于集合。22例1设M={aa=x-y,x,yeZ}f求证：(1)2k-IeMeZ)；(2)4R—2wM,("Z)；(3)若pGM,qGM,则pqeM.2.利用子集的定义证明集合相等，先证A^B，再证B^A，则A=B.例2设A,B是两个集合，又设集合M满足AnM=BnM=An5AUBUM=AUB，求集合M(用4B表示)。3.分类讨论思想的应用。22(列3

10、A={xx一3兀+2=0},B={兀兀2-ax+a-l=Q},C-{xx-tnx+2=0},若AjB=A,ACC=C,求a,m.4.计数原理的应用。例4集合4,B,C是/二｛1,2,3,4,5,6,7,8,9,0｝的子集，（1）若AJB=I,求有序集合对（4B）的个数；（2）求/的非空真子集的个数。5.配对方法。例5给定集合/=｛1,2,3,•••,/!｝的£个子集：岀，人2，・・・，入，满足任何两个子集的交集非空，并且再添加/的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求比的值。6.竞赛常用方法与例问题。定理4容斥原理；用

11、內表示集

12、合A的元素个数，则

13、AUB

14、=

15、A

16、+

17、B

18、_

19、ADB

20、,AUBUC

21、=

22、A

23、+

24、B

25、+

26、C

27、-

28、AnB

29、-

30、Anc

31、-

32、Bnc

33、+

34、AnBnc

35、,此结论可以推广到〃个集合的情况，即工n〃__UA=X

36、A

37、_X

38、AnS4gM-1)“HAl

39、+/=!/=!&j定义8集合的划分：若AU生U…且AA7=0(1)个抽屉，必有一个抽屉放有不少于加+1个元素，也必有

40、一个抽屉放有不多于加个元素；将无穷多个元素放入Q个抽屉必有一•个抽屉放有无穷多个元素。例6求1,2,3,…，100中不能被2,3,5整除的数的个数。例7S是集合{1,2,2004}的子集，S中的任意两个数的差不等于4或7