第16讲__立体几何综合问题

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1、数学高考综合能力题选讲16题型预测立体儿何是高屮数学的重要内容，是考察各种能力的重要载体，考察的方法常常是将计算和推理融为一体。增强立几试题的应用性与开放性可能是未来高考命题的趋势。范例选讲例1•如图，已知PA丄面ABC,AD丄BC于D,BC=CD=AD=O(1)令PD二兀，ZBPC二&，试把tan&表示为x的函数，并求其最大值；(2)在直线PA上是否存在一点Q,使得ZBQC>ZBAC?讲解(1)为寻求伽&与兀的关系,首先可以将&转化为ZPCD-ZPBDo•・•PA丄面ABCfAD丄BC于D,・•・P

2、D丄BD。PDPDx・・・=-=tanZPBD=-=-XX〒+2x—tanG=tan(ZPCD-APBD)=14-X-—2・・・AD为PD在面ABD上的射影。・•・PD>AD=,即x>lo/1V2-2a/24即tan"的最大值为——,4等号当且仅当x=y/2时取得。(2)由正切函数的单调性可知：点Q的存在性等价于：是否存在点Q使得tanZBOC>tanZBAC。tanABAC=tan(ZACZ)-ZABD)=-。Y1^tan^=—解得：l

3、如图所示：正四棱锥P-ABCD中，侧棱PA与底面ABCD所成角的V6点评本题将立体几何与代数融为一体，不仅要求学生有一定的空间想象力，而且，作好问题的转化是解决此题的关键。A例2.正切值为2(1)求侧面PAD与底面ABCD所成二面角的大小；(2)若E是PB中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；(3)在侧面PAD上寻找一点F,使得EF丄侧面PBC。试确定点F的位置，并加以证明。讲解：(1)连AC,BD交于点0,连PO,则PO丄面ABCD,・・・ZPAO就是PA与底面ABCD所成的角，/.tanZPAO

4、=—o22设AB二1,则PO=AO*tanZPAO=设F为AD屮点，连FO、P0,则OF丄AD,所以，PF丄AD,所以，ZPFO就是侧面PAD与底而ABCD所成二而角的平而角。在RtAPFO中，tanZPFO=—=^3,FO・・・ZPFO=-o即面PAD与底面ABCD所成二面角的大小为兰33(2)由(1)的作法可知：0为BD屮点，又因为E为PD屮点,所以，EO//丄PD。=2・•・ZEOD就是异面直线PD与AE所成的角。在RtAPDO中，PD=VOD2+PO2=—o2・・・E0台。AO1EO.由AO丄B

5、D,AO丄PO可知：AO丄面PBD。所以,在RtAOE中,+AO_2Vi0tanZAEO==。EO5・•・异面直线PD与AE所成的角为arctan2112。5（3）对于这一类探索性的问题，作为一种探索,我们首先可以将条件放宽一些，即先找到面PBC的一条垂线，然后再平移到点E即可。B不难发现：而PFO丄面PBC。为了达到上述目的，我们可以从考虑而而垂直入手,延长F0交BC于点G,连接PG。设H为PG中点，连接•・・四棱锥P-ABCD为正四棱锥且F为4D屮点，所以，G为BC屮点，・・・BC丄PG,BC丄F

6、G。・•・BC丄面PFG。・•・面PBC±面PFG。7T•・•PF=PG,APFO=-,・•・APFG为正三角形。3・•・FH丄PG,・•・FH丄而PBCo取AF中点为K,连EK,则由HE//FK及HE二FK得四边形HEKF为平行四边形，所以，KEHFHo・•・KE丄面PBCo点评开放性问题中，“退一步去想”（先只满足部分条件）、“将命题加强”往往是找到解题的突破口的方法。高考真题1.（2000年全国高考题）如图，已知平行六面体ABCD-的底面ABCD是菱形，且ZC

7、CB二ZBCD=6(T。(I)证明：

8、C

9、C丄BD；(II)假定CD=2,C

10、C=2,记面C/D为a,面CBD为0,求二面角a-BD-(3的平面角的余弦值；(III)当爭的值为多少时，能使丄平面CBD?请给出证明。1.(2002年全国高考)如图：正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=f/(0<6/

11、;(II)V33(III)器"2.(I)MN=©a22+—(0vav)；(II)卡时，MN的长最小,为返;(III)arccos