奥数：第16讲 几何问题第11讲

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1、第16讲几何问题第11讲几何综合之二例1如图16—1，已知四边形ABCD中，AB=13，BC=3，CD=4，DA=12，并且BD与AD垂直．问四边形ABCD的面积等于多少?答案36．分析显然四边形ABCD的面积将由三角形ABD与三角形BCD的面积求和得到．三角形ABD是直角三角形，底AD已知，高BD是未知的，但可以通过勾股定理求出，进而可以判定三角形BCD的形状，然后求其面积．这样看来，BD的长度是求解本题的关键．详解由于BD垂直于AD，所以三角形ABD是直角三角形．而AB=13，DA=12，由勾股定理，所以BD=5．三角形BCD中BD=5，BC=3，

2、CD=4，又故三角形BCD是以BD为斜边的直角三角形，BC与CD垂直．那么：即四边形ABCD的面积是36．评注勾股定理是几何问题中非常重要的定理．请同学们注意到这样一个问题：勾股定理实际上包含两方面的内容：①如果一个三角形是直角三角形，那么两条直角边的平方之和等于斜边的平方；②如果一个三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么它一定是直角三角形．本例同时用到了这两方面的内容，在解题中要注意体会．例2如图16—2，已知在平行四边形ABCD中，AB=16,AD=10，BE=4，那么FC的长度是多少?答案8．分析FC是平行四边形的边BC的一部分，但它与已知的

3、两条线段AB和BE相距较远，它们之间的联系在于线段BF．由于四边形ABCD是平行四边形，BF的长度可以通过平行线截相交线段所成的比例关系求出．详解1因为ABCD是平行四边形，所以BC平行于AD，则有比例关系将已知数代入上式，得到4：(4+16)=BF：10．解比例可得BF=2．从而FC=BC－BF=10－2=8．此即所求长度．详解2所以评注利用求面积来间接求出线段的比例关系．同学们应该对图16—3所示的图形非常熟悉了．相交线段AD和AE被平行线段BC和DE所截，得到的三角形ABC和ADE形状完全相同．所谓“形状完全相同”的含义是：两个三角形的对应角相等

4、，对应边成比例．体现在图16—3中，就是这种关系称为“相似”，同学们上了中学将会深入学习．相似三角形对应边的比例关系在解几何问题的时候非常有用，要多加练习．在实际运用的时候，相似的三角形往往作为图形的一部分，有时还要经过翻转、平移等变化，往往不易看出相似关系．例2中的三角形EFB和EDA是相似的，但显然不如图16—3容易辨认出相似关系．只要抓住“平行线截相交线”这一特点，勤加练习，就可以熟能生巧．平行四边形有两组互相平行的边，因此常常作为相似形的背景出现，这一点在解题中也要多注意．‘例3如图1６—4，设正方形ABCD的面积为1，E和F分别为边AB、AD

5、的中点，FC=3GC．求阴影部分的面积是多少．　答案　．分析所求的阴影部分是个三角形，并且作为底的EB长度是已知的，但EB边上的高GH却需要求(见图1６—5)．但GH与给出的CF和CG的长度比如何联系起来呢?如果将HG延长交CD于M点，那么就可以利用三角形CGM和三角形CFD的相似关系来确定GM，进而求出GH．　　　　　　　详解1如图16—5，过G作GH垂直于EB，垂足为H，延长HG交CD于M．因为ABCD是边长为1的正方形，E和F分别是AB和AD的中点，所以BE=，DF=，而且HM=1．由于FD和GM均与CD垂直．所以它们相互平行，得比例关系将已知C

6、F=3CG和DF=代入，得GM：=，求出从而所以三角形EBG的面积为就是说阴影部分的面积为．详解2连接AG、FB，取BC的中点H，连接HG．详解3如图16—6，过G作GH垂直于BC，延长HG交AD于M．由ABCD是正方形易得HM平行于CD，从而得比例关系根据CF=3CG可得FG：CF=2：3，代入上式得因为AEG和BEG是等底等高的三角形，故阴影面积恰是三角形AGB的一半，为÷2=.评注正方形中的平行关系和我们添加的辅助线为本题提供了多种解法，由平行线得到的比例线段是我们解题的重要工具．．例4如图16—7，ABCG是4×7的长方形，DEFG是2×10的

7、长方形．那么，三角形BCM的面积与三角形DEM的面积之差是多少?答案3．分析画阴影的两个三角形都是直角三角形，而BC和DE均为已知的，所以关键问题在于求CM和DM．这两条线段之和CD的长是易求的，所以只要知道它们的长度比就可以了，这恰好可以利用平行线BC与DE截成的比例线段求得．连接BD．详解因为BC和DE均与CD垂直，所以它们相互平行．截相交线段CD和BE，得比例式CM：DM=BC：DE将已知数代入，得CM=2DM．另一方面，CM+DM=CD=10－7=3，因此CM=2，DM=1．所以，三角形BCM面积为BC×CM÷2=4×2÷2=4，三角形DEM的

8、面积为DE×DM÷2=2×1÷2=1，二者之差为4－1=3即为所求．评注与图16—3类似，图1