奥数：第6讲几何问题第9讲

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1、第06讲几何问题第09讲立体图形例1用棱长是1厘米的立方块拼成如图6—1所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?答案46平方厘米．分析立方体的表面由6个面组成，因此要计算图6一l图形的表面积，可以分别计算它6个方向的表面积，然后求和即可．详解显然，图6—1的图形朝上的面与朝下的面的面积相等，都等于3×3=9个小正方形的面积；朝左的面和朝右的面的面积也相等，等于7个小正方形的面积；朝前的面和朝后的面的面积也相等，都等于7个小正方形的面积．因此，该图形的表面积等于(9+7+7)×2=46个小正方形的面积．而每个小正方形面积

2、为1平方厘米，所以该图形表面积是46平方厘米．例2如图6—2，一个正方体形状的木块，棱长1米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体的块．那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米?答案24平方米．分析不管沿哪个方向，每切一刀就多出2个1平方米的表面积。而一共切了2+3+4=9刀，共多出18平方米．原来的表面积是6平方米，加上因切割而得出的18平方米，即可知最后所有这些长方体的表面积之和为24平方米．例3图6—3是一个边长为2厘米的正方体．在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的

3、正方体小洞；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为寺厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，边长为寺厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米?答案29平方厘米．详解原正方体的表面积是2×2X6=24平方厘米，在顶部挖掉一个边长为1厘米的正方体小洞后，原大正方体的顶部表面被掉了一个1×1的小正方形，但是内部增加了5个1×1的面，所以总共增加了4个1×1的面，即正方形小洞的4个侧面．同样，再往下挖掉一个边长为的正方体后，大正方体的表面积又增加4个×的小正方形的面积．最后挖掉一个边长为厘米的正方体后，大正方体的表乒积又增

4、加了4个×的小正方体的面积．所以最终大正方体的表平方厘米．例4如图6—4，从长为13厘米、宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器．这个容器的容积是多少立方厘米?答案90立方厘米．详解这个容器的底为长方形ABCD，其长为13-2×2=9厘米，宽为9-2×2=5厘米，这个容器的高即为DE长=2厘米．因此，它的容积是：9×5×2=90立方厘米．例5如图6—5，有一个圆柱和一个圆锥，它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米．那么，圆锥体积与圆柱体积的比是多少?答案1：24．详解由圆锥的体积公式

5、可知由圆柱的体积公式可得：所以圆锥体积与圆柱体积的比为评注实际上本题也可以不计算出两个图形的体积．我们拿一个底面直径和高都等于4厘米的圆柱体做为参照，大圆柱体的体积是它的2×2×2=8倍，圆锥体是它的体积的，从而就可以得到本题的答案．例6一个盛有水的圆柱形容器底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米．今将一个底面半径为2厘米，高为18厘米的铁圆柱垂直放入容器中．求这时容器的水深是多少厘米．答案17厘米．分析本题可能出现三种情况：①放入铁圆柱后，水深不及铁圆柱高．②放入铁圆柱后，水深比铁圆柱高但未溢出．③水有溢出．详解放入铁

6、圆柱后，在铁圆柱周围，水的截面成圆环状，如图6—6所示，截面积为收入圆柱前后，水的体积不变，为×5×5X15=372．又因为375÷21==17厘米．因此这时容器的水深是17厘米．评注请同学们考虑水深不是15，而是16厘米或19厘米的情况，并与本题的结果作比较．另外，考虑铁圆柱的高不是18厘米，而是21厘米的情况，并与本题的结果作比较．例7某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱，并用尼龙织条沿如图6—7所示的三个方向加固．所用尼龙编织条的长分别为365厘米、405厘米、485厘米．若每个尼龙条加固时接头处都重叠5厘米，那么这

7、个长方体包装箱的体积是多少立方米?答案1．001立方米．分析如果将三条尼龙绳长各减去5厘米，则它们的长度分别等于长方体长加宽的2倍、长加高的2倍和高加宽的2倍，由此即可算出长方体邮件包装箱的长、宽、高．详解去掉接头处重叠的5厘米，三条尼龙条分别长360、400和480厘米．将它们都除以2，则得到的180、200和240厘米，分别是立方体长加宽、长加高和宽加高的长度．那么180+200+240=620厘米则是2倍的长加高加宽的长度．因此该立方体长+高+宽=310厘米．那么310—180、310—200和310—240就分别是立方

8、体的高，宽和长，即130厘米、110厘米和70厘米．从而该立方体的体积为例8有六个相同的棱长分别是3厘米、4厘米、5厘米的长方体，把它们的某些面染上红色，使得有的长方体只有一个面是红色的，有的长方体恰有两个面是红色的，有的长方体恰有3个面是红色的，有的长方体恰有四个面是红色的