函数的概念与基本初等函数(I)

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1、1．理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义．2．学会运用函数图象理解和研究函数的单调性、最大(小)值．第2课时函数的单调性【命题预测】1．函数的单调性是历年来考查的重点，也是热点，常与其他知识结合进行考查．2．最值是新课标下专门给出概念的一条性质，虽说不新，但突出了其地位，单调性是求最值的一条主要途径．【应试对策】1．学习函数单调性三大性质时，主要从“数”和“形”两个方面进行整体把握，从理解函数的单调性定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．2．函数的单调性是函

2、数最基本的性质之一，只有理解了一个函数的单调性，才能刻画出这个函数图形的基本形状，以及这个函数变化的基本状况．例如，简单的幂函数y＝x3，当我们知道它在整个实数范围内是单调递增的，那么就可以刻画出函数y＝x3的图象的基本形状以及它的变化趋势．在学习其概念时，首先应明确对应函数的定义域，其次要理解其区间性，即函数y＝f(x)是在给定区间上的单调性，反映的是随自变量在区间上变化时函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质．3．对函数单调性的证明要明确其步骤：(1)取自变量；(2)作差；(3)判断得结论．注

3、意，定义法是严格的单调性证明，在不需进行严格证明时，可以通过作图进行判断．另外，在后面学习的用导数判断函数的单调性也属严格的证明．因此，解决具体函数的单调性问题，一般求导解决，而解决与抽象函数有关的单调性问题，一般要用单调性的定义解决．【知识拓展】1．判断函数单调性(求单调区间)的方法(1)从定义入手：设x1，x2∈A，且x1

4、f[g(x)]在公共定义域上的单调性：①若f与g的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数；②若f与g的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．2．函数单调性的证明：(1)定义法；(2)导数法．3．一般规律(1)若f(x)，g(x)均为增函数，则f(x)＋g(x)仍为增函数；(2)若f(x)为增函数，则－f(x)为减函数；(3)设y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则y＝f[g(x)]在M上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则y＝f[g(x)]在M上是增函数．4．一些有用的结论：(1)奇函

5、数在其对称区间上的单调性相同；(2)偶函数在其对称区间上的单调性相反；(3)讨论函数y＝f[g(x)]的单调性时，要注意两点：①若u＝g(x)，y＝f(u)在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则y＝f[g(x)]为增函数．②若u＝g(x)，y＝f(u)在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则y＝f[g(x)]为减函数．(4)函数y＝ax＋(a>0，b>0)在(－∞，]及[，＋∞)上单调递增；在[－，0)及(0，]上单调递减．1．函数单调性的概念一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A，如果对于区间I内的任意两个值x

6、1，x2，当x1＜x2时，都有，那么就说y＝f(x)在区间I上是单调增函数，I称为y＝f(x)的．如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有，那么就说y＝f(x)在区间I上是单调减函数，I称为y＝f(x)的．f(x1)

7、＝f(x)的最大值，记为ymax＝f(x0)；如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为ymin＝f(x0)．思考：若函数f(x)的最小值为a，最大值为b，函数的值域是[a，b]吗？提示：不一定．如f(x)＝x2(x∈{0,1,2,3，})的最小值为0，最大值为9，它的值域为{0,1,4,9}不是[0,9]．单调性单调区间f(x)≤f(x0)1．(2010·东台中学高三诊断)若函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x>0，y>0，满足f(xy)＝f(x)＋

8、f(y)，则不等式f(x＋6)＋f(x)<2f(4)的解集为________．答案：(0,2)2．函数f(x)＝lg(x2－1)的单调增区间是________．解析：由x2－1＞0得x＜－1或x＞1，因为x