考研教案5(中值定理)

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1、Ch4中值定理1.费马定理：a./(兀)在兀°某领域有/(x)/(x0)b./(兀)在兀。可导.df(兀o)=O；(£So)no,£(Xo)sonf(兀。)=0)2.RolleTH；3.LcigrangeTH；4.CauchyTH；5.Tcilyor公式。Lagrange定理-Cauchy中值定理我证之精华证：令k=J3S积分h-akx=f(兀)+C,C=0,F(x)=f(x)-kxF(b)—F(a)—/(b)-/⑷-k(b-a)=0F(兀)在上满足Rolle定理条件,即证.北w仏b),F(§)=0二、Cauc

2、hy屮值定理积分ZrF(x)=/(%)+C,(C=0)G(x)=/(x)-£F(x)G(S_G⑷一几可―/(d)—MF(b)—F⑷)=0G(x)在［a,b］上满足Rolle定理条件，即证.日兵(d"),G'(C=0题型1口兵仏b),严)(§)=0，命题;1./(，Z_，)(X)在［。问上满足Rolle条件，得证；1./(n_1)(x)的最值或极限点，用费马定理.2.多次用RolleTH或Talyor公式.例1.设/(兀)是可微函数，/(0)<0,/(1)>0,求证：日兵(0,1),使f(§)=0.证：f(0)=lim才⑴-于(0)<0

3、f(l)=lim/(x)_f(l)>0XT厂X~3x］,x290

4、/(x)

5、,3^e(0J),/(^)=0Ext.若函数/(兀)在(G,/?)内具有二阶导数，且/(X］)=/(兀2)=/(兀3)，英中a

6、)，/'(金)=0又f⑴在陽切连续，在(鼻如内可导,fdG)=o由RolleTH,北w($,§2)，使得/”(歹)=0杯f(兀)足够光滑,a

7、,对f(k}(x)在［0,§］使用RolleTH,丐w(0g)c(0,l),严州(§)=0另证：/（兀）=£1丄++―y&介于0与x之间,匸0z!W+1）!几）一占/!（n+1）!/=0「!n严）（鈿0市条件：/（i）=f£^Q=o题型2.日兵仏方），使得.厂（§）=0及代数式证法。（重点）方法：1.作辅助函数F（x）；2.验证F（x）满足RolleTH；3.由定理证得命题.(重点)F(兀)的求法：一、积分法；1.将纟换成x;2.将恒等式变形为易于积分形式3.求出原函数F(x)(収c=0)二、微分方程法；欲证y'+P{x)y=Q(x)

8、,解为y=討"皿(C+疋⑴/”皿张)，取F(x)=f(x)e^P(x)dF'(x)=厂(x)皿+f(x)e^P(x'dxP(x)pX)=(/'(x)+P(x)/(x))J"皿=0例1.设/(x),g(x)GC[a,b],在(a,b)内可导,且f(a)=/(&)=0,证明：(a,b),使f(§)+/(g)g'(f)=O・分析：/(x)+/(x)g'(x)=0/(x)=ce^g=c厂⑴f(x)e8^=c令F(x)=/*(%)%).证：•・•.f(x),g(兀)wC[o,Z?],在(a,方)内可导,则F(兀)=/(兀)R⑴gC[a,b]

9、在仏b)内可导又F(a)=F(b)=0,rtlRolleTH,贝归gw(a,b),F(g)=0.例2.设f(x),g(x)eC[a,b],在(a,b)内可导，证明:在(a,Z?)内至少存在一点DlqJF丄q二s0—(q)0+(0)0l(qJ—(q).BDlq黑M(E)W二qGuJvv・(oho)qi(x)>h(x<爻X).二—s>+$s.rv_+电(X)j冬$•Sd+SJblqG)0l(q)b赵(SH!)3次Hssu^n3COHSJoh30sji(x)8(x)J首•SMSUSE•(qGvyEsan・OH(q)JH(o)Jnr

10、^RM(qG)w厶qGvw(x)°?(x)J^-xw詈•OH(U)丘二汽UVUE・HJL2oH-ffib—q(q)m丄D)0qDlq仝9)01(45—w)0ad)hF(d)=F(b)=O,RolleTH,毋w(a,b),