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1、IK分析部分第二章线性多变量系统的运动分析在讨论了状态方程的描述、标准形和模型转换后，本章将讨论线性多变量系统的运动分析，即线性状态方程的求解。对于线性定常系统，为保证状态方程解的存在性和唯一性，系统矩阵4和输入矩阵B中各元必须有界。一般来说，在实际工程中，这个条件是一定满足的。2.1线性系统状态方程的解给定线性定常系统非齐次状态方程为E:x(t)=A兀(f)+Bu(r)(2.1)其中,x(t)gRn,u(t)GRr,AGRnxn,BgRnxr,且初始条件为兀(')仁=兀(°)。将方程(2.1)写为x(Z)-A兀(f)=Bu(t)在上式两边左乘广如，可得将上式由0积分到厶得e-Azx
2、(Z)-x(O)=p-ArBw(r>Zr故可求出其解为兀(r)=/l(O)+^eA(t-r)Bu(T)dr(2.2a)或兀(f)=①(Z)x(O)+r(I)(Z-r)Bw(r)Jr(2.2b)•b式中①(t)=eA,为系统的状态转移矩阵。对于线性时变系统非齐次状态方程，x(Z)=A(Z)x(Z)+B(/)u(/)(2.3)类似可求出其解为兀(()=0(^,0)x(0)+(①(r,T)B(T)u(T)dt(2.4)一般说来，线性时变系统的状态转移矩阵①a,(°)只能表示成一个无穷项之和，只有在特殊情况下，才能写成矩阵指数函数的形式。2.2状态转移矩阵的性质定义2.1时变系统状态转移矩阵
3、①(以。)是满足如下矩阵微分方程和初始条件(2.5)的解。下面不加证明地给出线性时变系统状态转移矩阵的几个重要性质：2、①（M）①（也）=如2,5）；3、①一】（/,心）=①（4』）；4、当A给定后,①（Uo）唯一；5、计算时变系统状态转移矩阵的公式①do)=7+(A(r)Jr+fA(rj)r，A(r2)Jr2Jr,+…(2.6a)•«a上式一般不能写成封闭形式，可按精度要求，用数值计算的方法取有限项近似。特别地，只有当满足A(Z)IA(r)JrA(r)drA(t)即在矩阵乘法可交换的条件下，①（To）才可表示为如下矩阵①（仏）指数函数形式(2.6b)显然，定常系统的状态转移矩阵①（
4、I-4）不依赖于初始时刻3其性质仅是上述时变系统的特例。［例2.1］试求如下线性定常系统「01x2_-2-3__X2_的状态转移矩阵①⑴和状态转移矩阵的逆①_1(/)0［解］对于该系统，ro1_A=-2-3_其状态转移矩阵由下式确定由于01ro1-i5+3其逆矩阵为G+1)G+2)-2s+3(s+l)(s+2)-2G+1)G+2)1G+1)G+2)sG+1)G+2)因此①(t)=eAt=L-[[(sI-A)-i]_~2e~l-e~21e~l-e~2t-2e~l+2e~2t-e+2e~2t由于①7(()=①(7)，故可求得状态转移矩阵的逆为［例2.2］求下列系统的时间响应:=01_+o
5、>2__-2-3__X2_1式中，u⑴为20时作用于系统的单位阶跃函数，即［解］对该系统1-2-3状态转移矩阵①(t)=eAt已在例2.1中求得，即2「-严宀严—2「+2e~2t-e~f+2e~2t因此，系统对单位阶跃输入的响应为:x(O=eAtx(O)+—2e+2e-e+2e如果初始状态为零，即X(0)=0,可将X(/)简化为或-e-2t「-严-兀1(0厂「1宀—]CHC+22X2-2e~l+2e~2t-e+2e~2t兀2(°)c—tc一2fe—e「兀i(r)「_1e+—e—22_X2(t)_-Ite-e2.3向量矩阵分析中的若干结果本节将补充介绍在2.4节中将用到的有关矩阵分析中
6、一些结果，即着重讨论Caley-Hamilton定理和最小多项式。2.3.1凯莱-哈密尔顿(Caley-Hamilton)定理在证明有关矩阵方程的定理或解决有关矩阵方程的问题时，凯莱-哈密尔顿定理是非常有用的。考虑“X"维矩阵A及其特征方程AI-A=A!1+。］玄门+…・+a_］兄+色？=0凯莱-哈密尔顿定理指出，矩阵A满足其自身的特征方程，即An+©占+…+an}A+aI=O(2.7)1/<—1II为了证明此定理，注意到(A1-A)的伴随矩阵adj(AI-A)是2的”-1次多项式，即adj(2Z-A)=B/i+B2A!t2+…+B"+Bn式中，B}=Io由于(AZ-A)adj(
7、2Z-A)=[adj(2Z-A)](AZ-A)=
8、2Z-Al可得AI-AI=I^!1+・・・+a_"+a」=(AI-+B2Al3・2最小多项式按照凯莱-哈密尔顿定理，任一“X"维矩阵A满足其自身的特征方程，然而特征方程不一定是A满足的最小阶次的+・・・+Bn_}A+BJ=(〃]玄1+2+・・・+Bn_}A+Bn)(/17—A)从上式可看出，A和B,.(i=l,2,n)相乘的次序是可交换的。因此，如果(/U-A)及其伴随矩阵adj^AI-A)中有一个为
