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《空间向量解决空间角问题——解答题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、18.（本小题满分14分）如图，棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形,PA丄面ABCD,PA=AD=4,BD=4>/2E为"的中点（1）求证：丄面PAC；（2）求二面角E-AC-D的余弦值；（3）设M为PA的中点，在棱BC上是否存在点F,使MF//面ACE?如果存在，请指出F点的位置；如果不存在，请说明理18.（本小题满分14分）证明：（1）在WBD中，AD=4,BD=4迈,P（第18题图）/.AB=4,ABCD为正方形，因此BD丄ACPA丄面ABCD,BDu而ABCD,•••BD丄PA■又・・•PAoAC=A:.BD
2、丄而PAC.解：（2）建立如图所示的直角坐标系，则人（°，°，°）在RtAABD中，AZ)=4,BD=4迈=C(4,4,0),E(022),・疋=(0,2,2)AC=(4,4,0)••9•设而ace的法向量〃=（兀,y,z）“zIE••6分ryt二二D(0,4,0)P(0,0,4)FCn-AE=0=n-AC=02y+2z=04兀+4y=0可以得到而ACE的一个法向量,Z=（1，T，1）.又・・・PA丄平面ABCD,AP=(°，°⑷为面ACD的-个法向量,cos=则n・AP_4V3・••二面角E-AC-D
3、的余弦值为3.1()分(3)为PA的中点,・・M的坐标为(°，°，2).设棱上存在点尸(4,入0)使MFH平面ACE,则MF=(4,A,-2)由(2)得面ACE的一个法向量斤=(1,T,1),13分,MFn=0^A=2・••在棱BC上存在点F,使MF//平面ACE,且F为棱BC的中点.……忆分17.(本题满分14分)如图，在直三棱柱ABC-A)B
4、C
5、中，AC=3,BC=4,AB=5AA】=4,点D是AB的中点.(1)求证：AC丄BCi；(2)求多面体ADC-A.B,G的体积；(3)求二面角D-CB.-B的平面角的正
6、切值.BiB17、(本小题满分14分)(1)证明：直三棱柱ABC—A]B]C],底面三边长AC二3,BC=4,AB二5,・・・ac2+bc2=ab2・•・AC丄BC,又AC丄C]C,C(CABC=C・•・AC丄平面BCCi；:.AC丄BCi=v"2)^ADC-A^Cy=ABC-Axli{C{-^4x3x4x4-1x4x1x1x3x4=20(3)解法一：取BC^点E,过D作DF丄冋C于F,连接EF。・・・D是AB中点，・•・DE//AC:.DE丄平面BBC、C，又EFu平面BBQC:.DE丄EF:.B、C丄DE，又DE
7、CDF=D:.BQ丄平面DEF・・・B、C丄EF:.ZEFD是二面角D-B.C-B的平而角•・・AC=3,BC=4,AAi=4,ADE=-fEF=y[22tanZEFD=3Z)E_2_3a/2，.二面角―B的正切值为芈解法二:以CA、CB、CC；分别为兀、＞z轴建立如图所示空间直角坐标系，•・・AC=3,BC=4,AAi=4,3・・・C(O,O,O),D(-,2,0),B,(0,4,4),込弓,2,0),CB、=(044)平面CBBC的法向量斤=(1,0,0),设平而DSC的法向塑石=(%则小兀的夹角的补角的大小就
8、是二面角D-CB.-B的大小则由?£?二。解得石=（—土b-1）n2CBx=0“3■•I•一—'44n..cos==7^—三厂=——；=,贝I」tan<>=_Ml•也2丨V34-3^2~T"•••二面角—B的正切值为半18.（本小题满分14分）（1）证明：・・・PA丄平面ABCD,ABu平面ABCDf:.PA丄43.TAB丄AD,ADCPA=A.AD^平面PAD,PAu平面PAD,•••AB丄平面PAD.TPDu平面PAD•••AB丄PD,TBM丄PD,ABCBM=ByABu平面ABM,BMu平面ABM,A
9、PD丄平面ABM.•••AMu平面ABM,•••AM丄PD.（2）解法1：由（1）知，AM丄PD,又PA=AD,P3分MA6分BxDy则M是PD的屮点，在RtAPAD^,得AM=迈,在Rt"DM屮，得MC=^MD2+DC2=V5,・；S^cm二£側°MC=£•设点D到平面ACM的距离为h,由VD_ACM=V^_ACD,得存沁加孰調PA・解得h=—,310分设直线CD与平面ACM所成的角为0,则si宀缶斗12分.••cose斗14分・・・直线CD与平面ACM所成的角的余弦值为3解法2：如图所示，以点A为坐标原点，建立空间
10、直角坐标系A-&yz,则71(0,0,0),P(0,0,2),3(1,0,0),C(l,2,0),D(0,2,0),M(0,1,1)..-.AC=(1,2,0),AA7=(0,1,1),cD=(-1,0,0).……8分设平面ACM的一个法向量为n=（兀,y,z）,fx+2y=0,由”丄AC.n丄AM可得：‘[y+z二0.令z=1
