第十七章《勾股定理》教材分析及教学建议

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1、第十七章《勾股定理》教材分析及教学建议木章主要内容是勾股定理及其逆定理。首先让学生通过观察得出直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论并加以证明，从而得到勾股定理，然后运用勾股定理解决问题。在此基础上，引入勾股定理的逆定理，并结合此项内容介绍逆命题、逆定理的概念。本章教学时间约需8课时，具体安排如下:1课时4课时3课时18.1勾股定理18.2勾股定理的逆定理数学活动小结一、教科书内容和课程学习目标本章知识结构框图：实际间题>勾股定理（直角三角形辺长计算）<互逆定理直角三角形是一种特殊的三角形，它有许多重耍的性质，如两个锐角互余，30°的角所対的直角边等于斜边的一半。本章所研究的

2、勾股定理，也是直角三角形的性质，而且是一条非常重要的性质。勾股定理是几何屮几个最重要的定理之一，它揭示了一个肓角三角形三条边之间的数量关系，它可以解决许多直介三角形中的计算问题，是解直介三角形的主要依据Z-,在生产生活实际中用途很大。它不仅在数学中，而且在其他口然科学中也被广泛地应用。冃前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号,如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。据说我国著名数学家华罗庚曾建议，发射一•种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文切人”，那么他们一•定会识别这种“语言”的。这个事实可以说明勾股定理的璽大意义，发现勾股定理，尤其在2000多年前

3、，是非常了不起的成就。在第一节中，教科书让学生通过观察计算一些直角三角形两直角边为边长的小正方形的血积与以斜边为边长的正方形的面积的关系，发现两直角边为边长的小正方形的血积的和，等于以斜边为边长的正方形的而积，从而发现勾股定理。勾股定理的证明方法很多，教科书正文中介绍的是一种面积证法。其屮的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重亞，没有空隙，而积不会改变。在教科书中，图18.1-3（1）中的图形经过割补拼接后得到图18.1-3（3）中的图形。由此就证明了勾股定理。通过推理证实命题1的正确性后，教科书顺势指出什么是定理。由勾股定理可知，已知两条直角边的长a,b,就可以求出斜边c的长。由勾股

4、定理可得"=云-沪或川=云一"，由此可知，已知斜边与一条直角边的长，就可以求出另一条直角边的氏。也就是说，在直角三和形中，已知两条边的长，就可以求出第三条边的长。教科书相应安排了三个探究栏目，让学生运用勾股定理解决问题。在笫二节中，教科书让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，可以发现画出的三角形是直角三角形°从而猜想如果三角形的三边满足两边的平方和等于笫三边的平方，那么这个三角形是肓角三角形。这个猜想可以利用全等三角形证明，得到勾股定理的逆定理。勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法。教科书安排了两个例题,让学生学会运用这种方法。这种方法与前面学过的一些判

5、定方法不同,它通过代数运算“算”出來。实际上利川计算证明儿何问题学牛已经见过，计算在儿何里也是很重要的。从这个意义上讲，勾股定理的逆定理的学习，对开阔学纶眼界，进一步体会数学中的各种方法有很大的意义。几何中有许多互逆的命题，互逆的定理，它们从正反两个方曲揭示了图形的特征性质，所以互逆命题和互逆定理是儿何中的重要概念。学牛已见过一些互逆命题（定理），例如：“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”；“全等三角形的对应边相等”与“对应边相等的三角形是全等三角形”等，部是互逆命题。勾股定理与勾股定理的逆定理也是互逆的命题，而R这两个命题的题设和结论都比较简单。因此，教科帖在前面已

6、冇感性认识的基础上，在第二节中，结合勾股定理的逆定理的内容的展开，穿插介绍了逆命题、逆定理的概念，并举例说明原命题成立其逆命题不一定成立。为巩固这些内容，和应配备了一些练习与习题。木章学习目标如下：1.体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题；2.会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；3.通过具体的例了，了解定理的含义，了解逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立其逆命题不i定成立。二、本章编写特点（一）让学生体验勾股定理的探索和运用过程勾股定理的发现从传说故事讲起，从故事中町以发现等腰直角三角形冇这样的性质：以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的

7、正方形的面积。再看一些其他直角三角形，发现也有上述性质。因而猜想所有直角三角形都有这个性质，即如果直角三角形的两直角边长分别为。上，斜边长为芒，那么存"（教科书把这个猜想记作命题1,把下节“如果三角形的三边长"・C满足■夕=4,那么这个三角形是直角三角形”记作命题2,便于引出互逆命题）。教科书让学生用勾股定理探究三个问题。探究1是木板进门问题。按照已知数据，木板横着、竖着都不能进门，只能斜着试试。山此想到求长方形门框的对角线的长，而这个问题可以