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1、中考数学复习第九讲：分式方程【基础知识冋顾】一、分式方程的概念分母中含有的方程叫做分式方程【名师提醒:分母中是否含有未知数是区分方程和整式方程根本依据1二、分式方程的解法：1、解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式方程：2、增根：在进行分式方程去分母的变形时，有时可产生使原方程分母为的根称为方程的增根。因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母,使最简公分母为的根是增根应舍去。【名师提醒：1、分式方程解法中的验根是一个必备的步骤，不被省略2、分式方程的增根与无解并非用一个概念，无解完包含产生增根这一情况，也包含原方程去分母后的整式方程无解。】三、分式
2、方程的应用:解题步骤同其它方程的应用一样，不同的是列出的方程是分式方程，所以在解分式方程应用题同样必须完要检验是否为原方程的根，乂要检验是否符合题意。【名侖提鼠分式方程应用题常见类型有行程问题、工作问题、销售问题等，其中行程问题中又出现逆水、顺水、航行这一类型】【重点考点例析】考点一：分式方程的概念(解为正、负数)例1(2009•孝感)关于x的方程也卫=1的解是」E数，则a的取值范围是()x-A.a>-lB.a>-lKa#)C・a<-lD.a<-lAa^-2解：去分母得，2x+a=x-1,/.x=-1-a,*/方程的解是正数，0即a<-E乂因为x-1^0,Aa^-
3、2o则a的収值范围是aV・l且a£2故选D.点评：由于我们的目的是求a的取值范围，根据方程的解列出关于a的不等式，另外，解答木题时，易漏掉畔・2,这是因为忽略了xJHO这个隐含的条件而造成的，这应引起同学们的足够重视.2m+x2例2(2012・鸡西)若关于x的分式方程-1=—无解，则m的值为()x-3xA.-1.5B・1C・・L5或2D.・0・5或・1・5解：方程两边都乘以x(x-3)得:(2m+x)x-x(x-3)=2(x-3),即(2m+1)x=-6,①①：•当2m+l=0时，此方程无解，此时m=-0.5,2/774-X2②T关于x的分式方程一1=—无解，「.x
4、u0或x・3=0,即x=0,x=3,x-3x当x=0时,代入①得：(2m+0)x0-0x(0-3)=2(0-3),解得:此方程无解;当x=3时，代入①得：(2m+3)x3・3(3-3)=2(3-3),解得：m=・1.5,・・・m的值是・0.5或・1.5,故选D.点评：本题考查了对分式方程的解的理解和运用，关键是求出分式方程无解时的x的值，题目比较好，需要考虑周全，不要漏解，难度也适中.对应训练1.(2010-牡丹江)已知关于x的分式方程=1的解为负数，那么字母a的取值兀+2兀+2范围是_a>0几a定2—.C12/7—X—12.(2011-黑龙江)已知关于x的分式方程
5、丄・「=0无解，贝％的值x+1%+兀为•2.解：去分母得ax・2a+x+l=0.・・・关于x的分式方程=0无解，■X+1X+X(1)X(x+1)=0,解得：X二1,或x=0,当x=-l时，ax・2a+x+1=0,即-a-2a-1+1=0,解得a=0,当x=0时，・2a+l=0,解得a=—.2(2)方程ax-2a+x+l=0无解，即(a+1)x=2a・l无解,a+1=0,a=-l.故答案为：0、一或・1.2点评：本题主要考查了分式方程无解的情况，需要考虑周全，不要漏解，难度适中.考点二：分式方程的解法例3(2012-上海)解方程：—4-^—=—.x+3x2-9兀一3解
6、：方程的两边同乘(x+3)(x・3),得x(x-3)+6=x+3,整理，得x2-4x+3=0»解得X
7、=l,X2=3.经检验：X=3是方程的增根，x=l是原方程的根，故原方程的根为x=l.点评：本题考查了分式方程的解法.注意：(1)解分式方程的基本思想是“转化思想"，把分式方程转化为整式方程求解.(2)解分式方程一定要验根.对应训练3.(2012-苏州)解分式方程：丄+丄=「x+2xx+2x3.解:去分母得:3x+x+2=4,解得:q,经检验，4是原方程的解.考点三：分式方程的增根问题1-kx1例4(2012-攀枝花)若分式方程：2+」竺=——有增根，则k=兀一22
8、—x1-kx1解：•••分式方程2+=——有增根，去分母得：2(x-2)+l-kx-l,整理得：(2-k)x-22—兀x=2,2当2・k和吋，x=——；当2・k=0是，此方程无解，即此题不符合要求；2-k-lcx12T分式方程2+=有增根»Ax-2=0,2-x=0,解得：x=2,即=2,解得：k=l.x—22—x2_k点评：本题考查了对分式方程的增根的理解和运用，题ri比较典型，是一道比较好的题口，增根问题口j按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根的值；②化分式方程为整式方程；①把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.对应训练d—2.（2012-佳木斯）己
