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1、第八讲数列求和问题一、知识归纳：数列求和的主要方法：（1）公式法：能直接用等差或等比数列的求和公式的方法。（2）拆项求和法：将一个数列拆成若干个简单数列（等差、等比、常数列）然后分别求和的方法。（3）并项求和法：将数列相邻的两项或几项并成一组，得到一个新的更易求和的数列的方法。（4）裂项相消法：将数列的通项分成二项的差的形式，相加消去中间项，剩下有限项再求和的方法。常用技巧有：1n(n+k)②/1——=丄Qn+k-乔)®/?•/?!=(n+l)!-n!yjn+k+Vnk③(2h-1)(2h+1)_
2、2(2n-l"2H+P]n{n+1)(/?+2)2n(n+1)(〃+1)(h+2)（5）错位相减法：将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减，也即是仿照推导等比数列前n项和公式的方法。若｛%｝为等差、｛仇｝为等比数列，则求数列［anbn｝的前"项和可用此法。（6）倒序求和法：即仿照推导等差数列前〃项和公式的方法二、例题分析：例1・(1)(2)求和：(—1)+(/_2)+…1111•1x33x5(2n-1)⑵2+1)1+2x+3x"+•••+nxn1(xH1
3、)(1)S”=@_1)+(/_2)+・・・+@—)(3)解：=(d+/+…+d")-(1+2+•••+〃)S1Hc〃(/2+l)n-n2idfz=1UT,Sn=n=“22当QHl时，S—如+1)a”-a2(2)S“=-*-+丄+•••+*”1x33x5(2/?-l)(2n+l)=—(1)4-—()H()+…+—()2323525722«-12n+1丄(1__)=J—22川+12n+l(3)*.*Sn=1+2.x+3x~+…+nxn1xSn=兀+2x~+3x3+•••+(〃—l)xn1+nxH因为
4、则(l_x)Sn=l+x+x2+x3++1—T”1-疋nxn“攵—(1-X)2{-Xnx-x峠,归,2,…,n+1鱼匕=3,所以4例2.在等差数列｛色｝中，坷=1,前〃项和S”满足条件邑（I）求数列｛色｝的通项公式；（II）记仇=%//”（p〉0）,求数列｛仇｝的询〃项和7；。解：（I）设等差数列匕｝的公差为〃，由也=如2得:S“M+1=2,即d=a2—ax=1所以色=n。(II)由化=anpUn,得b”=npno所以Tn=p+2p2+3p3+…+s_])p“T+孔p“,当P=1时，Tn=^--
5、当pH1时，pTn=p2+2p3+3p4h(n-1)pn+npn~x,(1-P)Tn=p+p?+p'bpn_l+p11-np,l+i=~-np,l+il-P/?+l即八PP~O"丛匕亠宀HlIl-P例3.正项数列{an}的前n项和为Sn,且2尻=an+1.（1）求数列｛%｝的通项公式;⑵设仇=—*—，数列｛0｝的前斤项和为7；,求证：人＜-.aa」2解(1)V2国=ax+1,・・・务=1・・・4S”=a+l)2①・・・4S”_
6、fl)2(心)②①一②，得4an=盗+2an-an_{2一2an_{即
7、(©+~_])(久一an_{-2)=0而an>0,・•・an-an_}=2(n>2)故数列｛匕｝是首项为1,公差为2的等差数列。・・・色=2〃-1(2)"r—1：⑵2+1W丁*7)Tn+b2+•••+仇=丄(1—2)+丄(丄一丄)+・・・+丄(—)2323522n-l2n+l—肿丄12••丄(1-丄)-丄22n+l22(2n+l)2数列求和习题1.数列｛©｝的通项公式是d“二一,若它的前料项和为10,则y/n+Vn+1其项数n为A.11B.99C.120D.121an=Vn+1—Vn,则由S“=J
8、"+1-1=10,得n=120,选C2.数列1,丄,一'—，…,'，…的前〃项和为1+21+2+31+2+・・・+〃A.2n+11n+2小nC.D.n+12斤+1a——"1+2+・・・+〃71(/2+1)=2(-)，则S“=2(l)=企,选Bnh+1n+1n+13.数列｛%｝的通项是^=4/2-1,仇+•••+%,则数列｛仇｝的的前〃项和为则hn=2/2-1A.n2B.n｛n+1)C./?(/?+2)"(3+4〃一1)Qi+a?+•••+==n(2n_1),勺+$+…+仇=1+3+5+…+(2n一
9、1)=,选a4.已知数列｛d“｝的前n项和为S”=“2_4n+1,贝Ij
10、6z1l+
11、tz2
12、+kz3l+---+l6ziol的值是A.65B.67C.61D.56由cin—Sn—S”_]=2/2—5>0,得hn3,贝ij原式=-%-勺+Q3+—Q]()=510-2S2=61+6=67,选B5数列中存存,(2-1)+去…的前“项和为時则S/A.B."2+qC.2n2-n+1-D-n2-n+i-分析：代入检验，因SR+*,故选A6.在等比数列｛a“｝中，a〕+勺+=2"—1,贝*J6
