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1、第四讲：映射函数解析式——函数就是两个非空数集之间的对应，由定义域、对应法则和值域三个要素构成;对应法则是函数问题的核心，中学的函数对应法则多能用解析式表示。一，建构后识网給1.映射：如果非空集合4中任何一个元素，按照某种对应关系/,在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应叫做集合4到集合3的映射，记作映射是一种特殊的对应，即“一对一”或“多对一”但不能是“一对多”。若f:a^b,则b叫a的象,a叫b的原象;A屮元素必有象，B屮元素未必有原象。若A中不同元素的象也不同(称为单射)，且B中每一个元素
2、都有原象(称为满射，则称这样的映射称为——映射。2.函数的定义有两种形式：一是变蜃观点的定义，一是映射观点的定义.(1)在一个变化过程中冇两个变量x和y,如果对于x的每一个值,y都冇唯一确定的值和它对应，就说y是x的函数,(x是口变量).(2)若A、B是非空的数集，则映射f:A-B称为从集合A到集合B的函数，记作)刁(x),xeA,兀叫自变量;A叫定义域;函数值的集合｛/(x)
3、xeA｝叫值域.函数是特殊的映射，它要求A、B非空且皆为数集；映射是特殊的对应。用映射的观点理解函数概念是对函数概念的深化.3.两
4、个函数的相等——必须定义域A、值域C和对应法则/都相同：当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定Z后，函数的值域也就随Z确定，因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件。4.函数的表示法有三种：解析法、列表法、图象法；解析法——就是把两个变虽的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析式；5.求函数解析式的题型有：(1)己知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；(2)求复合函数的解析式，或由复合函数求解析式：换元法、配凑法；(3)已知函数图像，求函数解析式；(4)应用题求函数解析式常用方法有待定
5、系数法等.6.复合函数：若y=f(u),u=g⑴,那么y=flg(x)］称为复合函数，(注意中间变量u的取值范围)即：u=g(x):ATB,y=f(u):MTN,y=/仗⑴)：At,(BqM)二、敖基軀目休休手1.设集合A=R,集合3=正实数集，则从集合A到集合B的映射/•只可能是()A.f:x~^)^=xB.f-.x~^y=y[xC.fix-y=3~xD/:x-*y=log2(l+闪)2.若函数f(x)=lo创(x+1)(QO,dHl)的定义域是[0,1]时,值域也是[0,1],则。等于()A.—B.
6、y/o.C.D.2323.(2006陕西⑵为确保信息安全，信息需加密传输,发送方由明文一密文(加密)，接收方由密文->明文(解密)，己知加密规则为:明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,1&16,当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为()A.4,6,1,7B・7,6,1,4C.6,4,1,7D・1,6,4,74.若f(siax)=2—cos2x,则f(cosx)等于()A.2—sin2xB.2+sin2xC.2—cos2x
7、D.2+cos2x5.设集合A和B都是自然数集合N,映射/：A-B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2"+弘则在映射广下，彖20的原彖是6.如果f[/(x)]=2x—1,则一次函数/(x)=答案探示：1・4、CDCD；5、4；6、设fg=kx+b,待定系数法得/(x)=V2x+l-V2或f(x)=—V2x+H-V20【例1】以下各组函数表示同一函数的是(1)/'(x)=V?，g(兀)=y[x^；⑵心4,心北Px1x<0;(1)/(X)=叫严,g(兀)=(2“歩)2“-1(„gn*)；(2)f(X)=y[
8、xJX+1,g(x)=y/x2+x;(3)f(x)=x2—2x—1,g(/)=/2—2r—1.解析：对于两个函数，当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都和同时，才表示同一函数；只要两函数的三要素中有一个不同，则这两个函数就不是同一函数。(1)对应法则及值域都不相同，所以它们不是同一函数.(2)定义域分别为(一8,0)U(0,+8)和R,不是同一函数.(3)由于当刃GN*时,2n±1为奇数,:(X)=2n'^lx2n+]=x,g(x)=(2,l^/~x)2,1_，=x,它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以
9、它们是同一函数.(4)定义域分别为｛xx^0｝和｛兀応一1或心0｝,不是同一函数.(5)是同一函数.温馨提示:(3)小题中易误判为解析式不同，实质上都等于七(5)易误认为口变量不同，所以定义域不同，从而认为是不同的函数，原因是对函数的概念理解不透.它们所表示的函数定义域都是R，对应法则相同。【例2】A=｛1,2,3,4,5｝,B=(6,7,8｝从集合A到3的映射中满足/(1)WZ(2)Wf(3)Wf(4)Wf(
