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1、全概率公式与贝叶斯公式的应用及推广摘要：全概率公式与贝叶斯公式是概率论中两个重要的公式，在实际中有广泛的应用•本文对“全概率公式及贝叶斯公式”进行仔细分析，用例子说明了它们的用法.另外在推广方面，给出了给出了事件发生概率的矩阵表达式.关键词：全概率公式；贝叶斯公式；应用；推广TheApplicationandPromotionofTotalProbabilityFormulaandBayesFormulaAbstract：Totalprobabilityformulaandbayesformulaar
2、etwoimportantformulas,theyhavewideapplicationinreality.ThisarticlecarriesonthecarefulanalysistothetotalprobabilityformulaandtheBayeformula,explainedtheirusagewiththeexample.Moreover,inthetheirprobability,thematrixexpressionoftheprobabilityofeventsalsoha
3、vebeengiven.Keywords：TotalProbabilityFormula;BayesFormula;Application;Promotion引言一个随试验的样本空间都可以找到有限个或可列个基本事件构成一个分割，任一复合事件都可以由这几类基本事件组合而成.女小有/个袋子，各装有白球和黑球，任意选取一袋，取出一球，贝「取出一球为白球”这一事件，可由“从第一袋中取出一球为白球”，“从第二袋中取出一球为白球”，…，“从第料袋中取出一球为白球”任意复合而成.对这类问题从概率上表达时发牛可能性之
4、间关系的公式就是全概率公式，与其互逆的即为贝叶斯公式.1.全概率与贝叶斯公式1.1全概率公式1.1.1公式简述全概率公式的内容简述如下：设事件人,衝…人(或£4,…人，…)为样本空间Q的一个分割或完全事件组，即满足：(1)AA=(zVj)(2)$4=Q(或£a=Q)Z=1Z=1则对Q中任一事件B,有P(B)=$P(A)・P(B
5、A)或P(Br》P(A)P(BAji=i=证明(nBQ=BUi/=!)=U(BAj,J=1且佔显坊,…互不相容所以乂由可加性可得P(B)=PU(M)/=I=£p(ba)
6、/=1再将P(BJ=P(A)P(B
7、4)，i二1，2,…，n代入上式即得(1.1.1)式.分析⑴从形式上看，公式的右边工p(4)・p(B
8、a)比左边p(b)复杂，实质上，定理i=中给出的条件”任一B事件”往往很复杂，要直接求岀3的概率P(3)很难.若能把事件B分解为许多简单的，互不相容的事件之和，且这些事件的概率可求，则求出P(B)就简单多了.从上面的证明看，也可以看出这个思路.所以，应用全概率公式解实际问题关键是从己知条件中找到有限个或可列个事件构成一个分割，并且公式中一些事件的概率和条件概率能从
9、题设屮求得.它体现了"各个击破，分而食Z”的解题策略，有众多应用.从下面几个例子中可以加深对它的了解.(1)全概率公式的最简单形式：假如0vP(A)vl,即A,瓜构成样本空间的一个分割，则P(B)=P(A)P(BIA)+P(A)P(BA)⑶条件A4,…，&为将本空间的一个分割，可改成A，血，…,九互不和容，且BuCM，则(1.1.1)式仍然成立./=!1.1.2应用例证例1(摸奖模型)设在n张彩票屮有一张奖券，求第二人摸到奖券的概率是多少?解设4表示”第「人摸到奖券”,心1,2,…/因为A是否发生会
10、影响到A发生的概率，有p(a2ia)=0,p(a2a,)=同时人灭是两个概率大于o的事件，P(A)=丄,p区卜口n、丿n可由全概率公式得一一1n-11P(4)=P(£)P(AIA)+P(A)P(A
11、A)=—・()+=-〜・nnn-同理可得p(^)=p(A4=)=...p(4)=-n这说明，抽奖时，不论先后，中奖机会是均等的.例2甲文具盒内有2支蓝色笔和3支黑色笔，乙文具盒内也2支蓝色笔和3支黑色笔.现从甲文具盒中任取两支放入乙文具盒，然后再从乙具盒中任取两支.求最后取出的两支笔都为黑色笔的概率
12、.解以A,记为从甲文具盒屮取出放入乙文具盒屮的黑色笔数，i=0,l,2・以B记最后取出的两支笔都为黑色笔，则叫)=铮哈")=背=
13、,P(4密塀小°小2—0—2“小°小2柯斫皆诂，P(叫)=罟衍’P(恥)=罟時因此2p(b)=£p(a)p(bia)二/=()13663102311=—10211021102170分析A，A，4是构成样木空间的一个分割，这是应用全概率公式的典型题型.总结(1)由上述两可以总结出应用全概率公式问题的一般解题思路①确定所求事件，并
