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1、全概率公式与贝叶斯公式的应用及推广摘要：全概率公式与贝叶斯公式是概率论中两个重要的公式，在实际中有广泛的应用.本文对全概率公式和贝叶斯公式进行了仔细的分析，举例说明了它们的用法及它们所适用的概型.为了解决实际问题的需耍,我们将全概率公式和贝叶斯公式进行了推广，TheApplicationandPromotionofTotalProbabilityFormulaandBayesFormulaAbstract:Totalprobabilityformulaandbayesformulaaretwoimportantformulas,theyhavewideapplicati
2、oninreality.第一章全概率公式的应用及推广1.1全概率公式设n个事件构成祥本空间的一个划分,B是一个事件.当P(S)〉0,/>(々)〉0，/=1，2,…，n时则有：'•=1在很多实际问题中，由于随机事件的复杂性，很难直接求得，但却很容易找到Q的一个完备事件组A，…，次，且一般和会在题0中告诉你，或可以通过计算得到，那么就能用全概率公式求出KB).全概率公式在实际生活中有广泛的应用.1.2全概率公式的应用1.2.1全概率公式在实际比赛中的应用例1、某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手8人，一、二、三级射手能通过选拔进入比赛的概率分别
3、是0.9、0.7、0.4.求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率？分析：问题实质上涉及到两个部分：第一，选出的射手不知道是哪个级别的,由全概率公式知，都应该考虑到，才为全面.第二，某个级别的射手能通过选拔进入比赛的概率这是已知道的，记为：“选出的/级射手”，kl，2,3,则A，A，A构成一个完备事件组，有：A2JA3=0.,且44=^，i*j，i、j=1,2,3B=“选出的射手能通过选拔进入比赛”，要求：P(B)二？则:P(B)=P(A,)P(B
4、A1)+P(A2)P(B
5、A2)+P(A3)P(BA3)488=—x0.9+——x0.7+——x0.4202020=62
6、%即任选一名选手能通过选拔进入比赛的概率为62%.这个数比0.9、0.7都小,但比0.4大，就是因为三种可能性都考虑到了.例2甲乙两个比赛射击，每次射击胜者得1分，每次甲胜的概率为U,乙胜的概率为｛｝，平局概率为丫，(ci+｛5+丫=1).比赛进行到一方比对方多2分为止，多2分者获胜，求甲获胜的概率.解由题意每次比赛与上一次比赛是独立进行的，设方为甲获胜的概率，考虑前两次比赛作为条件以冷作为第一、二甲胜的概率，作为第一、二次均平局的概率，乂3作为第一、二次各胜一局的概率，Zu乂2,及，满足定理1的条件但不满足一般的全概率公式，由定理1知：P(fi)=P(A1)P(B/A
7、1)+P(A2)P(B/A2)+P(A3)P(B/A5)；易知P(B/A,)=1,P(B/A2)=P(B),/A3)=P(S)；l-/2-lap所以即P(B)P(B)=a2+^(B)+2a/3P(B)1.2.2全概率公式在医疗诊断中的应用例3、据调查，在50个耳聋人中有4人色盲，在9950个非耳聋人中有796人色盲，分析两种疾病是否相关.分析:设事件A为耳聋人，事件S为色盲人，P(A)=p,则P(A)=l-p.依题意可得，p(B
8、a)=A=0.08,p(S
9、a)=^-=0.08509950由全概率公式，p(B)=P(Ai)P(B
10、Az)'•=1=P(B)=P(A)尸(B
11、
12、A)+P(A)P(B
13、A)=px0.08+(l-p)x0.08=0.08所以，P(B)=P(BA)=P(BA)=0.08，事件A与事件B相互独立.经过以上分析得出结论：耳聋与色盲无关.1.3全概率公式的推广当一个复杂事件的发生与一列互不相容事件有关，而这列事件自身并不构成样本空间，添加某些事件后才构成样本空间的分割，而这些事件对复杂事件的发生没有影响时，可将全概率公式作以下推广.1.3.1全概率公式推广定理1及其应用设/1
14、，42<-，>^-是一列事件，添加CPC2，…,C,,,后，或其自身构成样本空间Q的一个分割，P(/Q〉0,z*=1，2,…，则对任一事件B，
15、当P(B
16、CJ=O,炎=1，2，".，讲，有P(B)=艺P(A,)P(B
17、A.)•1=1'•=1的/nP(B)=XP(A,B)+ZP(BCk)i=ik=的/H=^P(4Z)P(B
18、A,)+EP(^ICa)'•=1*=1=£p(A)P(BIA)/=1例4、设甲、乙、丙三个士兵同时向一目标射击，每人击屮目标的概率为P，一人击屮A标被摧毁的概率是/,两人击屮FI标被摧毁的概率是2/,三人击中目标被摧毁的概率是3/,求目标被摧毁的概率.解：令5=“g标被摧毁”，A,=“有厂个人击中0标”/=1，2,3,p(A)=C^(l-p)2=3/^2,PM
