从金字塔的建造到尼罗河两岸的土地丈量

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1、从金字塔的建造到尼罗河两岸的土地丈量，从大禹治水到都江堰的修建，从天文观测到精密仪器的制造…人们都离不开对几何图形的测量、设计和计算。正弦定理对自然界的深刻研究是数学发现的最丰富的来源。—傅里叶1AB设点B在珠江岸边，点A在对岸那边，为了测量A、B两点间的距离，你有何好办法呢？（给定你米尺和量角器）引例：2直角三角形ABC3ABC设问？若将点C移到如下图所示的位置，你还能求出A、B两点间的距离吗？任意三角形边与角之间存在怎样的关系？如何利用这些关系解决实际问题？4正弦定理的发现回忆直角三角形有哪些边角关系?ABCcba两等式间有什么联系？对任意三角形,这个等式都

2、会成立吗?怎么证明这个结论？5尝试证明途径转化为直角三角形中的角关系;建立直角坐标系，利用三角函数的定义；通过三角形的外接圆，将任意三角形问题转化为直角三角形问题;利用向量的投影或数量积（产生三角函数）。6结论：AD=思考：在直角三角形中比较容易得到：那么能不能也借助于构造直角三角形，来研究锐角三角形中该等式是不是也成立呢？这个三角形的高线AD能不能起个桥梁作用呢？这个三角形有几条高？是不是也能得到一些等式关系？可得到：正弦定理的证明一7同理：钝角三角形也满足等式：很显然，对于锐角三角形而言：等式也是成立的。探究：那么，对于钝角三角形而言，该等式是不是也成立呢？注意

3、：同样是构造直角三角形来解次这一问题。结论：AD=8由以上推论可知：对于作何三角形而言，都有：三角形各边和其所对角的正弦值之比相等，即：这就是正弦定理探究：在正弦定理公式中，你能发现哪些问题？又会不会产生一些相关的变形呢？变形：2.a:b:c=SinA:SinB:SinC3.a=2RSinA,b=2RSinB,c=2RSinC注：有了正弦定理，前面的设问可就比较容易解决了9一、复习1、.2、当时.3、如图，指出图中三向量的关系010正弦定理的证明二1、当ABC为锐角三角形时，如图（1）证明:过A作单位向量垂直,则的夹角为________,的夹角为________,

4、的夹角为________.已知:ABC中，CB=a,AC=b,AB=c.求证:ACBabcj11ACBabc122、当ABC为钝角三角形时，不妨设ABCabc如图,同样可证得即等式对任意三角都成立13正弦定理在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即注意：定理适合任意三角形。14归纳：正弦定理在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。即：asinC=csinA，asinB=bsinA，csinB=bsinC变形式：注：1、敢于从特殊中猜想一般规律。2、向量是数学中解决问题的一种很好的工具。ABCacb15例１、在中，已知a=10,A=C=,求b

5、，c(保留两个有效数字）例题讲解注：每个等式可视为一个方程：知三求一已知两角和任意边，求其他两边和一角16练习：P9第1题，第2题(两人一组,一人列式子写,一人按计算器,合作练习。）17六、小结2.正弦定理可解以下两种类型的三角形：（1）已知两角及一边；（2）已知两边及其中一边的对角.1.正弦定理是解斜三角形的工具之一.如果已知两边及其夹角，如何解三角形呢？注：每个等式可视为一个方程：知三求一18作业：1、书面作业P11第1题2、思考是否会等于某一常数？3、你能用别的方法证明正弦定理吗？19(1)若直角三角形,已证得结论成立.所以AD=csinB=bsinC,即同理

6、可得DAcbCB图1过点A作AD⊥BC于D,此时有证法1:(2)若三角形是锐角三角形,如图1,20由(1)(2)(3)知，结论成立．且仿(2)可得D(3)若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2,此时也有交BC延长线于D,过点A作AD⊥BC，CAcbB图221＝＝（2R为△ABC外接圆直径）＝2R思考求证:22证明：OC/cbaCBA作外接圆O,过B作直径BC/,连AC/,23AcbCBDa向量法证法2:利用向量的数量积，产生边的长与内角的三角函数的关系来证明.24证明：∵BACDabc而∴同理∴ha证法3:25剖析定理、加深理解正弦定理可以解决三角形中哪类问题：①

7、已知两角和一边，求其他角和边.②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角.26例2已知a=16，b=，A=30°.求角B，C和边c已知两边和其中一边的对角,求其他边和角解：由正弦定理得所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120°当时Ｂ＝60°C=90°C=30°当Ｂ＝120°时B16300ABC1631627变式:a=30,b=26,A=30°求角B，C和边c300ABC2630解：由正弦定理得所以Ｂ＝25.70,或Ｂ＝1800－25.70=154.30由于154.30+300>1800故B只有一解　（如图）C=124.30,28变式:a=30,b=26