Compressive_sensing中文原创翻译

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1、压缩感知RichardBaraniuk莱丝大学IEEE信号处理杂志课堂笔记2007年7月24卷1范畴香农和奈奎斯特采样定理告诉我们对一个信号进行均匀采样时要想不丢失信息采样频率不能低于二倍带宽。在许多应用当中，包括数字图像和视频摄像中，奈奎斯特频率会很高以至于采样量非常大，不得不压缩来储存或者传输。在其他的应用中，包括图像系统（医学扫描仪，雷达）以及高速模数转换器中，不断提高的采样频率或采样量超越了现在技术水平，代价很高。在这堂课，我们将学到一种新的技术，用压缩感知解决这些问题[1,2]。我们将用一种更加普通的线性测量优化求解方案代替传统的采样和信号重构算法，以远低于奈奎斯

2、特采样频率获得某种信号。2相关在这呈现的想法可以用来例证数据获得，线性代数，基础扩展，反相问题，压缩，维度降低和许多问题的优化求解之间的联系，从本科或者研究生的信号处理到统计和应用数学。3必备条件理解和讲解这个材料的条件是线性代数，基础优化，基础概率。4问题陈述奈奎斯特采样频率完整地通过探索带宽限制描述了一个信号。我们的目标是通过探索信号的可压缩性减少完整描述信号所需的测量。这个方法是我们的测量不是点采样而是更普遍的信号的线性函数。假如一个时域有限长一维离散信号x，我们把它当做RN空间中一个列向量，其中RN中元素为x[n]，n=1,2,...,N.我们把一个图像或者高维数据

3、投影到一个长的一维向量中。任何信号在RN中可以用基础的N×1的向量{ϕ}N来表示，简单起见，假设基ii=1是正交的。通过把向量{ϕi}转置形成基矩阵Ψ:=[ϕ1

4、ϕ2

5、...

6、ϕN]，我们可以把任意信号x表示成Nx=∑siϕii=1或者x=Ψs(1)其中s是N×1行权值系数向量，s=x,ϕ=ϕTx，其中.T表示转置。很明显，iiix和s是同一信号的等价表示，x表示时域，s表示Φ域。我们将聚焦有稀疏性的信号，其中x是K基向量线性组合，K<

7、中有很少大系数和很多小系数。可压缩信号用K−稀疏值近似表示。这就是变换编码的基础[3]。例如，自然图像在离散余弦变换和小波变换中是可压缩的，JPEG和JPEG−2000压缩标准基于此。视频信号和许多通信信号在自身傅氏变换基中是可压缩的。i转换编码在数据获得系统中扮演了中心角色，例如数字照相机，其中采样数量非常高但是信号是可以压缩的。在这个框架中，我们获得完整地N点信号x；通过s=ΨTx计算完整地变换系数{s}；找出K个最大的系数，舍弃(N−K)个最小的系数；并且编码这K个值，确定最大系数的位置。（实际中，我们也把这些值和位置转变成数字位）。不幸的是，这种采样然后压缩的结果有

8、固有的不足：第一，即使需要的K很小我们也必须开始用大量的数值N。第二，编码器必须计算所有的N个变换系数{si}，虽然我们只保留其中的K个。第三，编码器要面对大系数编码和定位的开销。作为一种选择，我们将研究一种更加普遍的数据获得方法，把信号进行直接压缩，无需中间获得N采样值这一步。这种更加普遍的线性测量值计算x和收集向量jj=1iji{φ}M中M。把测量值y转置成M×1的向量y并且把j测量向量φT作为行形成M×N矩阵Φ，代入(1)中，我们写成y=Φx=ΦΨs=Θs(2)其中Θ:=ΦΨ是一个M×N的矩阵。图1是(2)的图像描述。注意测量过程是非适应

9、的；也就是，Φ不取决于信号x。我们下面的目标是设计一个测量矩阵Φ和一个K−稀疏可压缩信号的重构算法，只需获得M≈K或者稍微多一点的测量值或者与传统变换编码一样多的测量。我们的方法基于最近提出的压缩感知理论[1,2]。5解决方案解决方法由两部分组成。第一步，我们设计一个稳健的测量矩阵Φ确保任意K−稀疏或可压缩信号的突出信息没有破坏，通过把x∈RN降维到y∈RM。第二步，我们设计一种信号重构算法来从测量值y中恢复x。首先，我们主要关注K−稀疏信号。5.1稳健的测量矩阵首先，我们基于矩阵Φ设计数据获得系统的测量方法。我们打算从我们可以稳健重构N−信号x中或者字典Ψ中相等的稀疏系数

10、向量s中获得M个测量值（向量y）。很明显，如果测量过程破坏了x中的信息，重构是不可能的。不幸的是，一般的情况是：因为测量过程就矩阵Φ和Ψ是线性的和限定的，求解给定的y是一个M