Soddy圆作法的探究

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1、索迪(SODDY)圆的作法探究金占魁尺规作图系列丛书【Soddy圆的作法探究】※※※※※※※※索迪(Soddy)圆的作法探究金占魁湖北随县第一高级中学写在前面的话这个暑期酷热而慢长，闲寂室内，偶翻昔日的读书笔记，忽然有一股想把所学知识系统归纳的冲动。想到了就干起来。第一个系列是阿波罗尼奥斯问题，共四篇，它们是：《解法基础》、《常规解答》、《特款解法》、《名家解法》。第二个系列是尺规作图中的偏锋杂题：《等内切圆定理的解答探究》、《同时等分面积周长问题的解法探究》、《索迪圆的作法探究》。需要说明的是，由于本人的笔记中鲜有原著原作者的记录，当时只为了省事为了记重点，所以本系列书

2、丛中，不说明其引用来源和出外，在此向原著作者表示歉意，同时也表达自己对原作者们的崇高敬意!谢谢他们的辛勤付出!本文作图力求简约，隐藏了旁条斜枝，尺规基本作图法也是一带而过，比如作△ABC的外接圆，我会叙述为：作⊙(ABC),而不是“作△三边的中垂线，它们的交点为O，再以O为圆心以OA为半径作圆”，若是这样的话，它会浪费你的宝贵的阅读时间的。同时为叙述简洁，解答部分先作如下约定：圆的记法：⊙(ABC)---表示过A、B、C三点的圆或△ABC的外接圆。⊙A(R)----表示以A为圆心，R为半径的圆。示例，⊙A(R-r)--表示以A为圆心，(R-r)为半径的圆。⊙A(BC)--

3、-表示以A为圆心，BC为半径的圆。上面的叙述与“几何画板”作图有关。注意!本书不采用这种记圆法：⊙(O，R-r)-----以O为圆心，以R-r为半径的圆。⊙O(ABCDF)-----A、B、C、D、F多点共圆于⊙O。还有就是本系列丛书中，没有作弧的说法，全部改为作圆了。作圆的目的可能是为了作另一圆的切线，亦或者是为了截取线段的长，这可能对读者带来不便，请读者们谅解!2019年7月于随州1【金占魁系列丛书】【Soddy圆的作法探究】※※※※※※※※一、三圆两两外切阿波罗尼奥斯问题（Apollonius'Problem）是一道有名的几何题：“平面上给定三个圆，如何用尺规作图构

4、造出和这三个已知圆都相切的圆”。而它的特款是三圆两两外切的时候，诺贝尔化学奖获得者索迪，在1936年用诗歌形式叙述了三圆两两外切时的“笛卡儿圆定理”,索迪称之为“精确之吻”--------双唇亲吻也许不为三角所迷恋。当第四圆互相亲吻那三个定圆，结局稍许不同。只要做到这一点，第四圆必定是三围一或一包三。如果是三围一，毫无疑问这个圆从外面得到了三个吻。如果是一包三，那就是从内部接吻三遍。半径越小，曲率则正好相反。半径与曲率的秘密让欧几里得无言现在不需要经验之谈。既然零曲率时圆退化成直线，凹曲率时就应把负号选，四个曲率的平方和是他们和的平方的一半。圆与球是亲密的同性伙伴而我们是

5、它们的推广员立体空间的五球等同于平面上的四圆如果第五球亲吻给定的四球则“曲率之和的平方”与“其平方和”间的倍数是三。后人就把“与两两外切的三圆都相切的圆”称为索迪圆。与三圆都内切的圆⊙S′叫外索迪圆，与三圆都外切的圆⊙S叫内索迪圆。我们在作索迪圆之前，就必须先画两两外切的三圆。下面就说说它的常见的两种作法：作法一：1、作△ABC的内切圆，切点为D、E、F。2、作⊙A(AD)、⊙B(BE)、⊙C(CF)即可。2【金占魁系列丛书】【Soddy圆的作法探究】※※※※※※※※作法二：1、在线段BC上任取一点E，作⊙B(BE)、⊙C(CE)，在⊙B上取一点G，过C作CH∥BG交⊙C

6、于H，直线GH交直线BC于T，则T是两圆的外位似中心。2、在⊙B上再任取一点S，直线ST交两圆于D、F两点，直线BD、CF交于A。3、作⊙A(AD)即可。二、索迪(Soddy)圆的作法我在拙作《阿波罗尼奥斯问题之特款解法》中，有部分解答，现复制过来，以供读者。已知：三圆⊙A、⊙B、⊙C，⊙A与⊙B外切于D，⊙B与⊙C外切于E，⊙C与⊙A外切于F。求作：⊙O,使它与⊙A、⊙B、⊙C均相切。分析：这里首选热尔岗解法，在解之前，还是先复习一下三圆两两外离的热尔岗解法吧。后面会作一些解法上的简化。已知：⊙A、⊙B、⊙C两两外离求作：⊙O,使它与⊙A、⊙B、⊙C均相切。作法：1、作

7、出⊙A、⊙B、⊙C的外相似轴L及根心S。2、作⊙A、⊙B、⊙C的正交圆⊙S，与三圆的交点分别为G、H、M、N、P、Q。直线GH、MN、PQ分别交相似轴L于W、U、V。3、过W作⊙A的两条切线，切点为X、X′，过U作⊙B的两条切线，切点为Y、Y′，过V作⊙C的两条切线，切点为Z、Z′。则⊙(XYZ)和⊙(X′Y′Z′)即是所求的⊙O。3【金占魁系列丛书】【Soddy圆的作法探究】※※※※※※※※现在把三圆向根心S靠拢，直至三圆两两外切。设公切点分别为D、E、F。正交圆正好经过这三点D、E、F，此时正交圆的作用消失，不再需要作出正