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时间:2019-08-26
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1、怎样证明一个四边形是梯形? 答:一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形,梯形的定义明确指出,作为一种特殊四边形的梯形,必须具备两个条件,即“一组对边平行”和“另一组对边不平行”,因此判定一个四边形是否是梯形,也必须以是否满足这两个条件为依据,二者缺一不可. 证明两线平行的方法比较多,难点是如何判定两线不平行. 【例1】已知:如图1在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC、BD相交于点O,A′、B′、C′、D′分别为AO、BO、CO、DO的中点. 求证:四边形A′B′C′D′是梯形.
2、 分析一:由A′、D′分别是AD、DO的中点,易知A′D′∥AD. 由B′、C′分别是BO、CO的中点,易知B′C′∥BC. 又AD∥BC, ∴A′D′∥B′C′, 由A′、B′分别是AO、BO的中点,得A′B′∥AB, 由C′、D′分别是CO、DO的中点,得C′D′∥CD, 又AB与CD不平行, ∴A′B′与C′D′也不平行. 综上所述,四边形A′B′C′D是梯形. 分析二:本题还可以通过证明A′D′∥B′C′且A′D′≠B′C′来判定四边形A′B′C′D′是梯形,即 由A′、
3、D′分别为AO、DO的中点,得 由B′,C′分别为BO、CO的中点,得 ∵AD∥BC且AD≠BC, ∴A′D′∥B′C′且A′D′≠B′C′, ∴四边形A′B′C′D′是梯形. 证明:略. 从以上分析中不难看出,证明一个四边形是梯形有两种方法,一种方法是证明四边形的一组对边平行而另一组对边不平行;另一种方法是证明四边形的一组对边平行且不相等,如果在证题过程中忽视了“一组对边不平行”的条件,只由“一组对边平行”来判定四边形是梯形显然是错误的. 【例2】已知:如图2,在矩形ABCD
4、中,对角线AC、BD交于O点,E、F分别为OA、OD的中点. 求证:四边形EBCF是等腰梯形. 证明:∵E、F分别是OA、OD的中点, ∴EF∥AD, 又四边形ABCD是矩形, ∴AD∥BC, ∴EF∥BC, ∵E、F分别为OA、OD的中点, 又AD=BC, ∴EF≠BC 由EF∥BC,EF≠BC.得 四边形EBCF是梯形, ∴EO=FO, 又∠1=∠2,BO=OC, ∴△EBO≌△FCO ∴EB=FC, ∴四边形EBCF是等腰梯形. 分析:如果只证明了EF∥
5、BC就判定四边形EBCF是梯形,不符合梯形的定义,应继续证明另一组对边EB与CF不平行,或继续证明EF≠BC都可以判定四边形EBCF是梯形,即 证明:略.
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