插值法及程序

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1、数值计算方法第2章大作业题目：插值逼近姓名：冯婷婷学号：104753140674专业：运筹学与控制论插值逼近一、插值问题设是区间上的一个实函数,是上个互异实数,已知在的值,求一个次数不超过的多项式使其满足这就是多项式插值问题。其中称为的次插值多项式,称为被插函数,称为插值节点,称为插值点,称为插值区间,式称为插值条件。从几何意义来看,上述问题就是要求一条多项式曲线,使它通过已知的个点,并用近似表示.即其中为实数，就称为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值。二、拉格朗日插值法在求满足插值条件次插值多项式之前，先考虑一个简单的插值问题：对节

2、点中任一点，作一n次多项式，使它在该点上取值为1，而在其余点上取值为零，即上式表明个点都是次多项式的零点，故可设其中，为待定系数。由条件立即可得故由上式可以写出个次插值多项式。我们称它们为在个节点上的次基本插值多项式或次插值基函数。V三、牛顿插值法任何一个不高于次多项式，都可以表示成函数的线性组合。既可以把满足插值条件的次插值多项式写成如下形式其中，为待定系数。这种形式的插值多项式称为牛顿插值多项式，记为，即因此，牛顿插值多项式是插值多项式的另一种表示形式。设函数在等距节点处的函数值为已知，其中是正常数，称步长。我们称两个相邻点和处函数之

3、差为函数在点处以为步长的一阶向前差分，记作，即于是，函数在各节点处的一阶差分依次为又称一阶差分的差分为二阶差分。一般的，定义函数在点处的阶差分为。在等距节点情况下，可以利用差分表示牛顿插值多项式的系数。四、三次样条插值定义：给定区间的一个划分,如果函数满足：(1);(2)在每个小区间上是次数不超过的多项式;(3)在每个内节点上具有二阶连续导数,则称为关于上述划分的一个三次多项式样条函数，简称三次样条。在每个小区间上是一个次数不超过的多项式,因此需确定四个待定常数,一共有个小区间,故应确定个系数,在个内节点上具有二阶连续导数，应满足条件即有

4、个连续条件，再加上满足的插值条件个，共计个，因此还需要个条件才能确定，通常可在区间的端点上各加一个条件（称为边界条件）。可根据实际问题的要求给定，常见有以下三种：(1)已知两端的一阶导数值，即。(2)两端的二阶导数已知，即。(3)当是以为周期函数时，则要求也是周期函数。这是边界条件应满足V五、例题展示分别用拉格朗日插值法，牛顿插值法和三次样条插值法算法计算例已知函数表如下：0.10.20.30.40.50.60.099830.198670.295520.389420.479430.56464计算的值。1、利用拉格朗日插值法计算过程如下：（

5、1）利用线性插值法求近似值因为0.12位于0.1与0.2之间，故取节点（2）利用抛物插值所求的近似值为因为0.12位于0.1，0.2与0.3之间，故取节点%建立M文件functiony=lagrange(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);fori=1:mz=x(i);s=0.0;fork=1:np=1.0;forj=1:nifj~=kp=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;end%在命令行窗口输入x=0.1:0.1:0.6;y=sin(

6、x);x1=[0.10.2];y1=sin(x1);z1=lagrange(x1,y1,x);x2=[0.10.20.3];y2=sin(x2);z2=lagrange(x2,y2,x);a=0.12;b1=lagrange(x1,y1,a)b2=lagrange(x2,y2,a)plot(x,y,'+k',x,z1,'-g',x,z2,'-r');xlabel('X')ylabel('Y')title('lagrange插值')%输出结果b1=0.1196b2=0.1198V2、利用牛顿插值法计算过程如下：构造差分表如下：0.10.20

7、.30.40.099830.198670.295520.389420.098840.096850.09390-0.00199-0.00295-0.00096（1）利用线性插值所求的近似值为（1）利用线性插值法求近似值因为0.12位于0.1与0.2之间，故取节点（2）利用抛物插值所求的近似值为因为0.12位于0.1，0.2与0.3之间，故取节点%建立M文件functiony=newton(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);y1=zeros(m);forj=1:mfori=n:(-1):2y1(j)=(x(j)

8、-x0(i-1))*(cs(x0(1:i),y0(1:i))+y1(j));endy(j)=y1(j)+y0(1);endEnd%在命令行窗口输入x=0.1:0.1:0.6;y=sin(x);