拉格朗日插值及牛顿插值的通用程序

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1、《计算方法》课程设计报告学生姓名:吴志强学号：0909290124学院:理学院班级:信计091班题目:拉格朗日插值及牛顿插值的通用程序指导教师：李鹏松职称:教授朱秀丽讲师2011年12月30日一、摘要1二、应用计算方法的基本原理21.拉格朗日插值法21.1算法描述21.2插值余项与误差估计22.牛顿插值法22.1算法描述2三、例题的计算结果及误差分析3四、总结及心得体会4五、参考文献7六、附录程序7一、摘要本设计报告主要围绕拉格朗日插值及牛顿插值多项式展开。首先分别给出了拉格朗日和牛顿插值的基本原理。拉格朗日插值是在给出线性插值基函数的基础上得出插值公式：利用插

2、值基函数很容易求得拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，理论分析甚为方便，但是当差值节点增减时，全部差值基函数均要随之改变，给实际计算带来不便，而牛顿插值法很好的解决了这个问题。由基本原理给出程序的算法描述并由此编写出通用程序。给出实例拉格朗日插值节点u=[01491625364964]，带入程序得出结果：；牛顿插值节点x=[0.20.40.60.81.0]，y=[0.98,0.92,0.81,0.64,0.38]；代入程序得出结果：通过所得出的插值多项式，代入具体数值，分别求出两种插值多项式的误差估计。并估算出误差分别为：则拉格朗日插值法绝对误差为0.0092；牛

3、顿插值绝对误差0.000052。通过误差分析我们可以清楚的看到两种插值多项式的误差是可以接受的。最后我们对本次课程设计进行了总结，总结了程序的优缺点并对本次试验过程中遇到的问题及困难进行了解答，此外我们还写出了对本次课程设计的心得体会。7二、应用计算方法的基本原理1.拉格朗日插值法1.1算法描述拉格朗日插值多项式是一种最常见的多项式插值法，也是一种最常用的逼近工具。设是定义在区间[a,b]上的函数，又设，.....是[a,b]上的n个互不相同的点，可以先构造基函数（i=0,1,2......n）如下：(1)且有(2)显然(3）满足（3）的插值多项式可表示为(4)

4、由的定义知，我们称为拉格朗日插值多项式。同时引入记号，我们容易求得，于是我们可将公式（4）改写为。1.2插值余项与误差估计若在[a，b]上连续，在（a，b）内存在，节点，是满足（3）的插值多项式，对任何，插余项，，余项表达式只有在f（x）高阶导数存在时才能应用，在（a,b）具体位置不能具体给出，如果我们能求出，那么插值多项式的截断误差限为2.牛顿插值法2.1算法描述利用插值基函数很容易求得拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，理论分析甚为方便，但是当差值节点增减时，全部差值基函数均要随之改变，给实际计算带来不便，而牛顿插值法很好的解决了这个问题。在这里我们先引入差商

5、的概念：设有函数，7为一系列互不相等的点，我们称为k阶差商这时我们可以求得其中为牛顿插值的余项。其中为牛顿均差插值多项式，为插值余项。三、例题的计算结果及误差分析一．拉格朗日插值法1.下列数据点的插值x1.511283056101132y67.82.53.27.66.37.5试用拉格朗日插值法分别求出插值多项式结果：图像如下：图一例1拉格朗日插值多项式的图像误差分析：由所求得的插值多项式例：将x=1.5代入，求得L（4）=6.199968精确解y（4）=6.2。则绝对误差为0.000012，相对误差为0.00016。一．牛顿插值法1.已知函数在下列各点的值为7x

6、1.02345y0.980.920.810.640.38结果为:图像：图二例2牛顿插值多项式图像误差为：0.00025四、总结及心得体会总结：这次试验使我进一步认识到算法的重要性，为进一步掌握编程能力提供了一次很好的锻炼机会。在学习其他语言的基础上，进一步加强编程能力。（1）进一步熟悉了matlab编译环境。（2）完成一个程序的要经过设计，输入，编译，运行。如果出错，找出错误进行修改，然后再编译，编译成功后，再次看运行结果是否正确，如果结果不正确，则再重复以上步骤。（3）编写完程序后要有必要的注释，并且给出流程图，一个好的程序不但自己能够看懂应用，应该让其他人也

7、能够看懂（4）算法分析一定要明确，算法是程序的灵魂。（5）一定要边调试边运行，在其中发现问题，从而解决相应的问题。（6）团结协作。（7）分块运行，一定要有层次与逻辑。（8）理论与实践结合的重要性。（9）不会的东西一定要请教老师和同学。心得体会：7程设计结束了，在这次的课程设计中不仅检验了我所学习的知识，也培养了我如何去把握一件事情，如何去做一件事情，又如何完成一件事情。在设计过程中，与同学分工设计，和同学们相互探讨，相互学习，相互监督。学会了合作，学会了运筹帷幄，学会了宽容，学会了理解，也学会了做人与处世。课程设计是我们专业课程知识综合应用的实践训练，着是我们迈

8、向社会，从事职业工作前一