毕卡逐次逼近法在定理证明中的应用

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1、毕卡逐次逼近法在定理证明中的应用摘要本文用毕卡逐次逼近法及数学分析知识，证明“隐函数存在定理”和一阶方程初值问题解的非局部存在性定理。一·毕卡逐次逼近法证明隐函数存在定理定理1·设满足下列条件：（I）在上连续；（II）（通常称为初始条件）（III）对，恒有；（IV）在D上：即对D上任意两点，不等式……（1）恒成立，L是与和无关的正常数（）。则在区间唯一确定一个隐函数，满足。这个函数在上连续可微。其中……（2）……（3）证明：若在上能唯一确定可导的隐函数，则有,方程两边对x求导，得。由，得。因此，在上能确定唯一可导的隐函数，等价于初值问题……（*）在上有唯一解。简记，下面分4段证明之

2、。（1）构造一个近似解的序列。用……（4）代替中的y，则……（5）其右边是的已知函数，对（5）两边积分（显然在D上连续，故可积），并令它满足于是得到……（6）它区间上连续。一般来说，它并不正好是（*）的解，称它为（*）的第1次近似解，记为……（7）并称（4）为（*）的第0次近似解。现在估算由（7）确定的函数的界限：……（8）所以，当时，有，即有。这就推知，当时，，于是有定义，并且是x在上的连续函数。考虑得到第2次近似解同理可证，当时，有，即如此下去，可得到第n次近似解:……（9）易知当时有……（10）从而。由归纳法，定义了无穷序列,,,…，，………（11）每个函数在连续，且，（＝0

3、，1，2，……）（2）·证明{}在上一致收敛。当时，(n=2,3,……)……（12）由数学归纳法易证明……（13）事实上，当n=1时，由（8）知（13）成立；假设，当n=k时成立，即则由（12）知＝即证明了（13）当n=k+1时也成立。由（13），当时，有易知，正项级数收敛，由-判别法知级数在上一致收敛。即在上一致收敛，将其极限函数记为即，……（14）又连续函数的一致收敛极限函数也必定是连续函数，故在上连续，且，所以当时，。（3）·证明上述的确是（*）的解。即＝……（15）从而有，（4）·证明（*）的解的唯一性。设与都是（*）的解，公共区间为，则有……（16）……（17）由（16）

4、－（17）得（）记，……（18）于是，上式可改写为，两边乘以，即有两边从到积分，且由得到，又，故。又由（18）知，所以知。同理可证当时，。综上知，当时，，求导得，即有，。这就证明了只有一个解满足（*）.由以上的（1），（2），（3），（4）和证明开始处的分析知，在上唯一确定隐函数且满足，同时在上连续可导。证毕。二·毕卡逐次逼近法证明一个非局部存在定理[2]中有一个一阶方程初值问题解的非局部存在性定理。原文中的证明是用到反证法，在已有贝尔曼不等式，延展定理，饱和区间引理等的前提下，证明过程比较简洁，但需要掌握较多的知识才能理解。而用毕卡逐次逼近法也可以证明该定理。虽然过程长，但思路清

5、晰。现给出定理及证明如下：定理2·设有初值问题，……（19）在带形区域，内连续，并设它在G内，则对G内任一点，初值问题（1）的解在区间（a，b）上存在且唯一。证明：取，且，对，由定理中G知,故均有定义。其中{}为毕卡序列。以下证明过程类似定理1中（1），（2），（3），（4）的证明。由此知，对与的任意包含的闭子区间初值问题（1）都存在唯一解，故可推知，对于上的任意x，恒成立和，这就证明了在上，是初值问题的唯一解。证毕。注：定理（1）中第（1）段所作的序列{}称为毕卡序列，构造毕卡序列并证明它的一致收敛性的这种方法，称为毕卡逐次逼近法。第（2）段证明毕卡序列的一致收敛性和第（4）段证

6、明解的唯一性中起重要作用的是。可以举出例子，当不满足（III）时，仅从毕卡序列一致收敛性（在对y不满足局部下），并不能推出初值问题解的唯一性。参考书目：[1]《数学分析简明教程》邓东皋，尹小玲。高等教育出版社，1999年第1版；[2]《常微分方程》蔡燧林，武汉大学出版社，2003年，第2版。