第三章逐次逼近法

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1、第三章逐次逼近法1.11、一元迭代法xn+1=φ(xn)收敛条件为：1）映内性x∈[a,b]，φ(x)∈[a,b]2）压缩性∣φ(x)-φ(y)∣≤L∣x-y∣其中L＜1，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。由微分中值定理，如果∣φ’∣≤L＜1，显然它一定满足压缩性条件。2、多元迭代法xn+1=φ(xn)收敛条件为：1）映内性xn∈Ω，φ(xn)∈Ω2）压缩性ρ（▽φ）＜1，其中▽φ为xn处的梯度矩阵，此时φ为压缩算子，在不断的迭代中，就可以得到最终的不动点集。3、当φ(x)=Bx

2、+f时，收敛条件为，ρ（B）＜1，此时xn+1=Bxn+f，在不断的迭代中，就可以得到线性方程组的解。4、线性方程组的迭代解法，先作矩阵变换Jacobi迭代公式的矩阵形式Gauss-Seidel迭代公式的矩阵形式超松弛迭代法公式的矩阵形式三种迭代方法当时都收敛。5、线性方程组的迭代解法，如果A严格对角占优，则Jacob法和Gauss-Seidel法都收敛。6、线性方程组的迭代解法，如果A不可约对角占优，则Gauss-Seidel法收敛。7、Newton迭代法，单根为二阶收敛8、Newton法迭代时，遇到重

3、根，迭代变成线性收敛，如果知道重数m，仍为二阶收敛9、弦割法的收敛阶为1.618，分半法的收敛速度为（b-a）/2n-110、Aitken加速公式1.2典型例题分析1、证明如果A严格对角占优，则Jacob法和Gauss-Seidel法都收敛。证明：首先证Jacob法收敛，因为A严格对角占优，则，于是，从而，这又有，因此Jacob迭代法收敛。再证G-S法收敛，因为，由定理1.6，非奇异，而，所以，从而严格对角占优矩阵一定可逆。在G-S法中，，从而，求矩阵特征值时，只能是，因为A严格对角占优，，如果，两边乘，

4、这说明矩阵仍然严格对角占优，前面已证明，该行列式不能为0，这是一个矛盾。因此，只能是，而这恰好说明Gauss-Seidel迭代法收敛。2、证明：如果A的对角元非零，超松弛迭代法收敛的必要条件是证明：令，如果超松弛迭代法收敛，应该有而，从而必须满足。3、分析方程2x-3x+4x-5x+6x-7x+8x-9x+10x=10是否有实根，确定根所在的区间，写出求根的Newton迭代公式,并确定迭代的初始点。解：因此该方程在[1,2]有且仅有一个实根，Newton迭代公式为/（），x0=1.5即可4、由求的Newt

5、on迭代公式证明：对一切是递减序列。证明：首先，如果中的xk>0，于是。又因为k=1开始5、若f(x)在零点ξ的某个邻域中有二阶连续导数，并且f’(ξ)≠0，试证：由Newton迭代法产生的xk(k=0,1,2,…)有证明：由Taylor公式，6、证明：A∈Cn*n,对任意范数有，证明：首先存在某种范数所以，取得到，对不等式同时取极限即得到再根据范数的等价性对不等式同时取极限即得到对任意范数有结果7、确定常数p,q,r，使如下迭代法收敛到，该方法至少几阶？解：根据定理3.6，一个迭代格式，在根附近它的p-

6、1阶导数为零，就至少有p阶收敛速度1.3习题解答1、判断正误、选择和填空：1）、对于迭代过程，xn+1=φ(xn)，若迭代函数在x*的邻域有连续的二阶导数，且，则迭代过程为超线性收敛。（不正确），xn+1=φ(xn)的迭代收敛条件有两条，1）映内性xn∈[a,b]，φ(xn)∈[a,b]2）压缩性。更不能保证有超线性收敛，例如：2）用Newton迭代法求任何非线性方程均局部平方收敛。（不正确）3）若线性方程组Ax=b的系数矩阵A为严格对角占优，则Jacobi迭代法和G-S迭代法都收敛。（正确）4）解非线性

7、方程f(x)=0的弦解法迭代具有（局部超线性敛速1.618）。（A）局部平方收敛；（B）局部超线性收敛；（C）线性收敛5）任给初始向量x(0)及右端向量f，迭代法x(k+1)=Bx(k)+f收敛于方程组Ax=b的精确解x*的充要条件是（）。6）设φ(x)=x-β(x2-7)，要使迭代法xk+1=φ(xk)局部收敛到x*=，则β取值范围是（）。7）用迭代法xk+1=xk-λ(xk)f(xk)求f(x)=x3-x2-x-1=0的根，若要使其至少具有局部平方收敛，则（）。2）用二分法求x3-2x-5=0在[2，

8、3]内的根，并要求，需要迭代（18）步。3）求f(x)=5x-ex=0在[0，1的根，迭代函数的简单迭代公式收敛阶为（线性）；Newton迭代公式的函数（）；其收敛阶为（二阶）。4）给定方程组，a为实数，当a满足（），且0