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1、用径向基函数求微幅波的势函数一、径向基函数1.径向基函数介绍径向基函数是无网格方法的一种，我们知道有限元计算中网格畸变会带来困难，相对与有限元，无网格方法不受网格的影响，取点具有随意性，能更准确地获得获得更加复杂系统的近似解，对于流体，以拉格朗日建立的光滑粒子动力学方法（SPH）现阶段解决复杂的问题得到广泛的应用。径向基函数是一类以点x到xi的距离di=
2、
3、x-xi
4、
5、为自变量的函数。它具有形式简单、空间维数无关、各向同性的优点，由于径向基函数有许多表达式，在这里采用吴宗敏（1995）提岀的正定紧支径向基函数，其表达式为0（x）=（1-沈（6+36厂+82厂$+72疋+30厂4+5r5）（1）
6、1一厂...当05厂51时0…其他佥是定义在节点“处的径向基函数的支撑域半径，卜-训是以点x到节点“的距离；2.对于径向基函数的插值设一个函数为（2）0（兀）=[01（兀），02C4…，0N（力『ux）=0’（兀）a（3）（4）式（4）有N个未知数，令近似函数u（x）在节点勺处的值等于函数u（x）在该节点处的值妁,即U（Xf）=妁，可得到N个线性方程组：Aa=u（5）0（兀1）01（Xj）02（兀】）…加（无]）式中A二0丁（兀2）■■—01（兀2）■••02（兀2）■••…0N（无2）••••••（6）4（兀N）02（兀“）…0N（无“）_U=卩•••予Un）（7）这里U—般是已知的；'由
7、式（5）解出系数矩阵（3）式a,代入式（2）中，得u(x)=0厂(兀)人一5=N(x)u式中形函数矩阵N为N(x)=^x)A~l二、微幅波的势函数微幅波势函数的表达式：(9)(10)(11)(12)妇直cosh比+力)sin血七)(Tcoshkh其中=gktanhkh4Ltanh(x)和cosh(x)分别为双曲正切和双曲余弦函数。三.计算步骤及过程1•已知条件设周期T=6s,波高A=l.06m,水深h=4m,带入(4)可以得到波长L二34.75m,如图由（2）式是理论解，这里用径向基函数得到的一个数值解来模拟理论解，同时证明径向基函数的精确性。利用乞卜-勺
8、
9、得到五个点及自身的距离，〃呦是定
10、义在节点小处的径向基函数的支撑域半径，在这里取dml=L=34.5m,得到『=，代入吴宗墩公式（1）得0（®）再将00）代入（6）式得到5X5的矩阵，其值为0i3)必（兀
11、）…05（兀丁A二01(兀2)■■■02(勺)■■■…05(兀2)■••••■叭（兀5）02（兀5）…@（兀5）_将A求逆得63.802.110.870.033.8065.353.800.862.115.3565.352.110.873.805.3563.800.0290.872」13.806_0.63-1.72-1.727.702.22■11.57-1.076.37A_1=2.22■11.5719.26-11.57-1.0
12、76.37■11.577.700」4-1.072.22-1.720.14-1.072.22■1.720.63另外将五个点代入（13）式中可以得到五个势函数的值均，代入式（7）得到u=[5.535.550.00-5.58-5.60Y用(5)式加?=2/求逆g=得到a=r0.903.650.19・3.870.93]。四、求微幅波势函数的数值解根据可以设斤=J(x-4.344尸+(z-(-3.5)尸/L厂2二J(x-13.031)2+(z-(-3.3))2/Lr.=7U-17.375)2+(z-(-3.2))2/Lq=J(x—21.719)2+(z—(—3.1))2ILr5=J(兀一30.406)
13、?+(z—(―3)尸/厶得到数值解函数的表达式w(x,y)=(x,y)a=X=1u（x,y）=为％（1-耳）&（6+36—+82/;2+72丐?+30厂4+5尸）（1一耳）/=!五、精度验算在波长L=34.75m范围内取点与真实值比较有取点(5)-£,-3.4Is丿(9、厶3.6116丿<13、厶3.6116丿真实值-5.57-3.05-7.203模拟值-5.54-2.98-5.54相对误差（％）0.532.064.14通过以上比较，用此方法得到的函数精度较高，说明应用径向基函数来得到数值解是具有可行的。六、计算程序在在这里使用MATLAB来进行计算程序如下：1=34.75;x=f1/83*1
14、/81/21*5/81*7/8];y=r-3.5-3.3-3.2-3.1■3];A=1.06,h=4,g=9.8,t=0;k=2*pi/l;zi=(g*k*tanh(k*h))A0.5;%zi为(7fori=l:5forj=l:5fai(i,j)=((x(i)-xO))A2+(y(i)-yO))A2r0.5/l;faix(i,j)=(bfai(i,j))A6*(6+36*fai(i,j)+82*f
