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1、学好二次函数三个重要方面二次函数是初中数学的重点内容，也是中考的热点，下面就同学们应该掌握的三个重要方面予以举例说明.一、运用二次函数的对称性解题例1如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x二2,点A、B均在抛物线上，且直线AB与x轴平行，其中点A的坐标为(0,3),则点B的坐标为().A.(2,3)B.(3,2)C.(3,3)D.(4,3)【评析】根据抛物线的对称性，点B就是点A关于直线x二2对称的点，因而点B的坐标为(4,3)・例2二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表：则m的值为.【评析】本题
2、的常规方法是先代入三个点求出函数解析式，然后取自变量x二4求出m的值.此方法虽然可彳亍，但有一定的计算量.如果从该函数图象的对称性入手，可知抛物线的对称轴方程为x=B(1+3)=2.横坐标为4与0的点恰为一对对称点，・・・m的值为T・练习1已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(-2,6)、B(4,6)C(1,-3),求该函数解析式.【提示】可以用三点代入法，但考虑到抛物线的对称性也可以模仿上例判断出抛物线顶点为C,改用顶点式求出函数解析式y=x2-2x-2.二、判别由系数构成的代数式的符号例3右图是二次函数y
3、=ax2+bx+c图象的一部分.图象经过A点（3,0）,二次函数图象对称轴为x=l.给出四个结论：®b2>4ac；®bc0,又a0,等式-变形后可知③成立；根据图象与y轴的交点位置确定c的符号，此题图象与y轴交于正半轴，c>0,所以②错误；根据图象与x轴的交点个数判断b2-4ac的符号，此抛物线与x轴有两个交点（另一个交点延长抛物线即可得），所以b2-4ac>0,故①正确；把横坐标x=l代入y=ax2+bx+c,得y=a+b+c>0,故④错误.用同样的方法还可以判断一些代数式的符号，如将x=3代入y=ax2+bx+c
4、,得到y=9a+3b+c=0.练习2如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=-l,且过点（-3,0）.下列说法：①abcy2.其中说法正确的是（）•A.①②B.②③C.①②④D.②③④【提示】根据图象得出a>0,b=2a>0,cT时，y随x的增大而增大即可判断④正确.本题答案为C.三、构造二次函数解非函数题例4已知关于x的一元二次方程x2-（k-3）x-4=0有两个不等的实数根，且有一根10,解得00,Ak的取值范围为00这三个条件可得出m的范围为m>-例5如图，在矩形ABCD中，AD=10,A
5、B二20,动点P在边CD上，且与C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q・连PQ,M为PQ的中点，MN丄QC,求线段BM的最小值.【评析】线段BM的长度与点P的位置有关，若设DP=x,由图形关系可用含x的代数式表示MN和BN,由勾股定理BM2二BN2+MN2,可令y=BM2,重点在于建立y与x的函数关系，利用二次函数的最值求解.【解答提示】设DP二x,BM2=y,则PC二20-x,易证MN是APQC的中位线，・・・MN二■二■，再由△ABQs/XADP,可得BQ=2x,QC二2x+10,QN二■二x+
6、5,二BN二BQ-QN二x-5,在RtABMN中，由勾股定理可得：y=BM2=MN2+BN2=B2+(x-5)2=B(x-8)2+45.・••当x二8时，y最小=45,故线段BM最小二■二3・.练习4如图，正方形ABCD的边长为4,动点P在边AD上，MP丄BP,求DM的最大值.【提示】令AP二x,DM二y,易证△PDM^ABAP,由相似三角形对应边成比例建立y与x之间的函数关系，利用二次函数最值求得线段DM的最大值为1.
