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1、活页作业(十/、)数学归纳法閒1・已知几2)=*+计7+册+•・・+*，贝11()A.人〃)共有n项，当n=2时，/(2)=
2、+
3、B..心)共有/?+1项，当〃=2时，/2)=
4、+
5、+
6、C..心)共有n2—n项，当〃=2时，.几2)=*+*D.人几)共有n2—n+1项，当77=2时,人2)=*+*+土解析：结合夬町中各项的特征可知，分子均为1,分母为心n+l,…，圧的连续自然数共有tr—n+1个，且人2)=*+*+土.答案：D2.用数学归纳法证明不等式1+*+*+・・・+歹±＜如是正整数，/:＞!),从n=k到n=
7、R+1变化时，左边增加的项数是()B.2*—1D.2a+1A.2kC.2*t解析：项数为2*+—t答案：A3.对于不等式心弔＜〃+l(〃WN),某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当几=1时，W+1V1+1,不等式成立.(2)假设当n=k{keN*)时，不等式成立，即心+RVR+1,则当n=k+1时，寸伙+1)?+(/:+1)=yjk?+3k+2＜彳(F+3R+2)+R+2=寸伙+2)'=伙+1)+1»••n=k~~时,不等式成立，则上述证法()A.过程全部正确"B.〃=1验得不正确C.归纳假设不正确D.从
8、n=k到n=R+1的推理不正确解析：在n=k+1时，没有应用n=k时的归纳假设，故选D.答案：D4.若Xn)=l2+22+32+-+(2/7)2,则/伙+1)与加)的递推关系式是・解析:V//r)=l2+22+-+(2^)2,/(£+1)=12+2?+…+(2好+(2£+1)2+(2R+2)2,:.J(k+1)-^)=(2k+A)2+(2k+2)2,即夬£+1)=代灯+(2k+1)2+(2R+2)t答案：1)=J(k)+(2k+I)2+(2k+2)25.己知血）=1+*+知…+知WN）,证明不等式人2”）＞訓，./
9、（2屮）比.宓）多的项数是项.解析：夬2人）=1+
10、+
11、+—2^+^FFt+^H2+•几2心）比人2*）多了2*项.答案:2k111水6.用数学归纳法证明：1+㊁+亍尹二yG（"WN,«＞1）.证明：⑴当n=2时，左边=1+*+*,右边=2,左边V右边，不等式成立.（2）假设当n=k时，不等式成立，即1+*+*+・・•+£«则当n=k+1吋，有1+*+*
12、+*+衬;]2]＜鸟+*+2厶；]—1]X2«+尹丁二yV£+—尹一=R+1,所以，当n=k+1时不等式成立.由（1）和（2）知，对于任意大于1的正整数〃，不等式
13、均成立.饨力提升》7.某个与正整数有关的命题：如果当〃=心丘疋）时命题成立，则可以推出当n=k+时该命题也成立.现已知77=5时命题不成立，那么可以推得（）“A.当n=A时命题不成立A.当n=6时命题不成立B.当/i=4时命题成立C.当n=6时命题成立解析：因为当巾时命题成立，则可以推出当n=k+1时该命题也成立，所以假设当n=4时命题成立，那么〃=5时命题也成立，这与已知矛盾，所以当川=4时命题不成立.答案：A8.若《棱柱有/U）个对.角面，则《+1棱柱•的对角面的个数为（）A.J（k）+k—1B,.^k）+k
14、C・J(k)+k+D.夬Q+R—2解析：由R棱柱到£+1棱柱，底面对角线增加k—2+=k—1条，・••增「加了伙一1)个对角面.答案：A7.用数学归纳法证明S+l)(〃+2)…⑺+砒=2"亠3…⑵?一1)时，由R增加到k+时,可两边同乘一个代数式.解析：当n=k(kWN)时，左边为伙+1)伙+2)…伙+Q;当n=k+吋，左边.为伙+1+1)•伙+1+2)・・・・・伙+1+R—1)・伙+1+灯•伙+1+R+1)，则左边应增乘的式子是=2(2R+1)・答案：2(2/:+1)8.设平面上n个圆周最多把平面分成人川
15、)片(平面区域)，则人2)=,代小=.(心1,neN*)解析：易知2个圆周最多把平面分成4片；"个圆周最多把平面分成人力片，再放入第n+个圆周，为使得到尽可能多的平面区域，第n+｝个应与前面乃个都相交且交点均不同，有n条公共弦，其端点把第乃+1个圆周分成2〃段，每段都把已知.的某一片划分成2片，即心+l)=/S)+2n(心1),所以血)一/(1)=如一1),而人1)=2,从而fin)=rr-n+2.答案：4n+29.请观察以下三个式子：1X2X9(1)1X3=——;(2)1X3+2X4=2X；X11(3)1X3+
16、2X4+3X5='X；X门归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明之.解：结论:1X3+2X4+3X5++n(/?+2)=咻+1)(2斤+7)6证明：①当n=l时，左边=3,右边=3,所以左边=右边.②假设当n=k(k^,kWN)时，命题成立，即lX3+2X4+3X5+・・・+R伙+2)=R伙+l)(2P+7)6，则当n=k+吋,(2k1+7kX3+2X4+
