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1、§2.1.2指数函数及其性质(-)【教学目标】理解指数函数的定义;能利用指数函数的形式定义,判别指数函数;掌握指数函数图像;应用数形结合思想领用图像和性质来解题。【重点】指数函数的概念、图象与性质【难点】函数值的变化规律【教学方法】教师启发讲授,学生探究学习。【教学手段】计算机、投影仪。【教学过程】一、创设情境,引入课题问题一:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个……一个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞个数y与x的函数关系式是什么?问题二:用清水漂洗衣服,如果每次能洗去污垢的1/2,写岀存留
2、污垢y与漂洗次数x的函数关系式是什么?<]Yy=牙得到I丿提问止你能发现这两个关系式有什么相同的地方?(让学生自由发言)相同点:①都是函数关系式。(理由:每一个自变量都有唯一的函数值与Z对应)②函数形式相同。(解析式右边都是指数式、底数是一个正数、自变量都在指数的位置上)3.底数都是确定的数4•关系式的右边都是指数式,而指数是自变量提问2:你能从以上两个解析式屮抽彖出一个更具有一般性的函数模型吗?教师引导,学生讨论思考。如果用字母a代替2与丄,则我们得到一类新的形如尸/@>0,且心1)的函数。2/jYy
3、——由此,我们可以说,函数)^2“和函数(2丿都是函数y二/的具体形式。下面我们就一起来研究这类重要的函数一一指数函数。二、归纳探索,形成概念(一)指数函数归纳总结学牛对三个问题的回答并给出指数函数定义。定义:一般地,函数叫做指数函数(exponentialfunction),其中兀是自变量,函数的定义域是R。引导学生进行下面探究活动:探究一:指数函数的定义域为什么是实数集?回顾上一节的内容,我们发现指数M中P可以是有理数也可以是无理数,所以指数函数的定义域是R。探究二:在函数解析式y=/中为什么要规定
4、a〉0,且aH1引导学生进行分类讨论当ov°时,有些/会没有意义,如(-2),/2,0-,/2当Q=°时,没有意义当时,函数值y恒等于1,没有研究的必要.例1:(1)y=0.2x(2)y二(-2尸(3)y=-4'(4)y=x4(5)y二(1/3F+1(6)y=2^(7)歹=龙“(8)丿=疋(9)y=(2。一1)'(°>丄,且6/工1)请学生口答,最后让学生自己归纳判断方法,进而进行总结:y=Q中,/前的系数必须是1,自变量一定在指数的位置上。(二)指数函数图象在明确指数函数定义过后,我们就要研究他的图像
5、。考察两组具体的指数函数图像:y==y让学生回顾如何用描点法画出这两个312丿函数的图像。回顾描点法:列表一一描点一一连线。借助多媒体手段画出两个函数图像。提问2:这两个函数图像有什么特点?异同点分别有哪些?从一下几个方面来分析:1.特殊点2.单调性3.定义域4.值域5.大小用同样的方法,教师直接在几何画板上给出这两个图象,并让学生归纳总结:从左往右看,r的图像逐渐上升,y召]的图像逐渐下降,两个函数图像都过(0,1),且图像均在x轴上方,图像向左右无限延伸。两个图像关于y轴对称。(关于对称性,可以通过
6、几何画板验证,再脫离图像,用任意点來证明,这里区别与偶函数的对称性)。探究三:这几个函数图像有没有渐近线?请说出理由。学生通过观察可以发现:这儿个函数图像都是以x轴为渐近线的。并引导学牛从函数的定义域、值域、单调性等性质方面来分析找出原因。探究四:指数函数有没有共同的特性?我们该怎么来研究指数函数的性质呢?在儿何画板中引入参数a,作函数图像y=当a发生改变时,函数图像随之改变,请学牛归纳出一般指数函数的图像特征及相应的性质。有了前面两组函数做铺垫,对于一般函数的图像特征归纳,学生更容易得出。学生可自由发
7、言,每表达一种观点得到全班同学的认可Z后,将其写在黑板。一般指数函数的图像和性质函数y二的图像特征①向左向右无限延伸②位于X轴上方③过点(0,1)看囹说话,根倨囹像持征,用简洁的赦皆语言描述出超赦悄质,將衍敎囹像鸟药超世质連行帘机的猪合。函数>'=ax的性质①定义域是R②值域是(0,+oo)③恒过定点(0,1)G>1时,图像逐渐上升,0VGV1时,图像逐渐下降扩>1时,函数在肚单调增,0l图象dy
8、=ax(Ol)/y=l、x>x>性质定义域R值域(0,+8)过定点d>0,且QH1,无论a取何值恒过(0,1),即x=0时,y二1单调性(2)在R上是减函数(2)在R上是增函数各区间取值(3)若x>0,则ax>l若x<0,则01若x>0,则0