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1、1.任意给定两个正整数,是否都可以用辗转相除法和更相减损术求出它们的最大公约数?提示：可以.由除法和减法的性质可知,对于任意两个正整数,辗转相除法或更相减损术总可以在有限步之后完成,故总能用这两种方法求出任意两个正整数的最大公约数.2.应用更相减损术求最大公约数时程序终止的条件是什么？辗转相除法呢？提示：更相减损术是当大数减去小数的差等于小数时停止减法，程序终止，此时较小的数就是两数的最大公约数；辗转相除法则是大数除以小数，当余数为零时程序终止，此时较小的数就是两数的最大公约数.3.任给两个正数,可用辗转相除法或更相减损术求最大公约数,那三个正数的最大公约数如何求?提
2、示:先从中任选两个数,用辗转相除法或更相减损术求它们的最大公约数,再用辗转相除法或更相减损术求“最大公约数”和第三个正数的最大公约数，最后求得的最大公约数即为这三个正数的最大公约数.1.秦九韶算法与直接计算多项式的值相比有什么优越性?提示：秦九韶算法在计算多项式的值时,减少了乘法的运算次数,提高了运算效率.2.如果多项式中按x的降幂排列时“缺项”，用秦九韶算法改写多项式时，应注意什么问题？提示：所缺的项应添零补齐，即将所缺的项补上写成系数为零.一、选择题（每题5分，共15分）1.用辗转相除法求得168与486的最大公约数为()（A）3（B）4（C）6（D）16【解析】
3、选C.486=2×168+150168=1×150+18150=8×18+618=3×6+0∴168与486的最大公约数为6.2.（2010·聊城高一检测）用更相减损术求得459和357的最大公约数为()（A）3（B）9（C）17（D）51【解析】选D.由更相减损术可得459-357=102357-102=255255-102=153153-102=51102-51=51∴459与357的最大公约数为51.3.以下是利用秦九韶算法求当x=23时，多项式7x3+3x2-5x+11的值的算法.①第一步，x=23.第二步，y=7x3+3x2-5x+11.第三步,输出y.②第
4、一步，x=23.第二步，y=((7x+3)x-5)x+11.第三步，输出y.③需6次乘法3次加法.④需3次乘法3次加法.以上正确描述为()(A)①③(B)②③(C)②④(D)①④【解题提示】紧扣秦九韶算法解答多项式求值的步骤.【解析】选C.算法①不是秦九韶算法；秦九韶算法需要进行3次乘法运算和3次加法运算.二、填空题（每题5分，共10分）4.用更相减损术求294和84的最大公约数时,需做减法运算的次数为______.【解析】用更相减损术求294与84的最大公约数时，先用2约简得147和42，做减法如下147-42=105，105-42=63，63-42=21，42-2
5、1=21，共做了四次减法.答案：45.（2010·汕头高一检测）已知f(x)=7x6+6x3+3x2+2,用秦九韶算法求f(x)在x=4时的值为______.【解析】f(x)=(((((7x)x)x+6)x+3)x)x+2v0=7v1=7×4=28v2=28×4=112v3=112×4+6=454v4=454×4+3=1819v5=1819×4=7276v6=7276×4+2=29106.答案：29106三、解答题（6题12分，7题13分，共25分）6.分别用辗转相除法和更相减损术求105和357的最大公约数.【解析】辗转相除法:357=105×3+42,105=42
6、×2+21,42=21×2+0，∴105和357的最大公约数为21.更相减损术:357-105=252252-105=147147-105=42105-42=6363-42=2142-21=21∴105和357的最大公约数为21.7.设函数f(x)=x5+x3+x2+x+1,求f(3).【解析】原多项式可化为f(x)=((((x+0)x+1)x+1)x+1)x+1,当x=3时，v0=1,v1=1×3+0=3,v2=3×3+1=10,v3=10×3+1=31,v4=31×3+1=94,v5=94×3+1=283.所以,当x=3时,f(3)=283.1.（5分）（2010
7、·临沂高一检测）用辗转相除法求得60,48和36的最大公约数为()（A）6（B）12（C）24（D）36【解题提示】求三个数的最大公约数时，可先求某两个数的最大公约数，再求这个最大公约数与第三个数的最大公约数.【解析】选B.60=48×1+1248=4×12+0∴60和48的最大公约数为12,又36=12×3+0,∴12与36的最大公约数为12,于是60,48和36的最大公约数为12.2.(5分)用更相减损术求324和243的最大公约数,需进行______次减法.【解析】324-243=81243-81=162162-81=81∴324与243的最大
