偏微分方程初步介绍

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1、偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATION(P.D.E)参考书目《工程技术中的偏微分方程》，潘祖梁，浙江大学出版社。《数学物理方程》，王明新，清华大学出版社。一.偏微分方程的基本概念自变量未知函数偏微分方程的一般形式PDE的阶PDE的解古典解广义解一些概念是指这样一个函数，它本身以及它的偏导数在所考虑的区域上连续，同时用满足方程。线性PDE非线性PDE半线性PDE拟线性PDE完全非线性PDE线性PDE：PDE中对最高阶导数是线性的。线性PDE中所有具同一最高阶数的偏导数组成的部分，称为线性方程的主部。半线性PDE：拟线性PDE：拟

2、线性PDE中，最高阶导数的系数仅为自变量的函数。PDE中对所含未知函数及其各阶导数的全体都是线性的。举例（未知函数为二元函数）1.2.变换解为：解为：4.3.解为：变换解为：5.不易找出其通解，但还是可以找出一些特解任意解析函数的实部和虚部均满足方程。也是解6.特解都不易找到KDV方程7.拟线性PDE8.拟线性PDE9.半线性PDE10.半线性PDE11.非线性PDE举例(多元函数)拉普拉斯(Laplace)方程热传导方程波动方程二.定解问题的适定性定解问题PDE定解条件初值条件边值条件初、边值条件初值问题、边值问题、混合问题经典的定解问题举例波动方程的

3、初值问题（一维）经典的定解问题举例热传导方程的初值问题（一维）经典的定解问题举例二维调和方程的边值问题第一边值问题（Dirichlet）第二边值问题（Neumann）第三边值问题（Robin）经典的定解问题举例热传导方程的初、边值问题何为适定性？存在性唯一性连续依赖性（稳定性）适定性若PDE在附加条件及求解域的一定要求下，它的解在已知度量的某函数类中存在、唯一而且关于附加条件为稳定的，就称定解问题在相应的函数类中为适定的。三.物理模型与定解问题的导出弦振动方程弦振动方程与定解问题一长为L的柔软均匀细弦，拉紧后，当它受到与平衡位置垂直的外力作用时，开始作微

4、小横振动。假设这运动发生在同一平面内且与方向垂直于平衡位置，求弦上各点位移随时间变化规律。弦上各点作往返运动的主要原因在于弦的张力作用，弦在运动过程中各点的位移、加速度和张力都在不断变化，但它们遵循物理的运动规律。由此可以建立弦上各点的位移函数所满足的微分方程。取弦的平衡位置为OX轴，运动平面为XOUOUXPQL在时刻t，弦线在x点的位移为u(x,t)OUXPQ此为上图中PQ的放大图示假设弦线是均匀的，弦作微小振动，故可认为即表明弧段PQ在振动过程中长度近似不变。因此根据Hooke定律，弦上各点的张力T的大小与时间t无关。再由于弦是柔软的，弦上各点的张力

5、T的方向正是弦的切线方向。根据牛顿第二运动定律(*1)(*2)OUXPQ表示弦的质量密度（单位长度的质量）很小时(*1)这表明张力的大小与x也无关，即常数(*2)微分中值定理令，可得微分方程方程弦是均匀的，故为常数，记方程改写为刻划了均匀弦的微小横振动的一般规律。通常称为弦振动方程。表示速度，因为T的单位是质量*长度/时间的平方单位长度是时间/质量为了具体给出弦的振动规律，除了列出它所满足的方程外，由于弦开始时的形状和弦上各点的速度，对弦振动将有直接影响，由此必须列出初始条件或者边界条件已知端点的位移已知在端点受到垂直于弦的外力的作用已知端点的位移与所受

6、外力作用的一个线性组合四.二阶线性方程的分类两个自变量情形主部目的：通过自变量的非奇异变换来简化方程的主部，从而据此分类。非奇异（1）复合求导系数之间的关系（2）（1）（3）考虑如若能找到两个相互独立的解那么就作变换从而有（4）两个引理引理1.假设是方程的特解，则关系式是常微分方程（4）（5）的一般积分。引理2.假设是常微分方程（5）的一般积分，则函数是（4）的特解。由此可知，要求方程（4）的解，只须求出常微分方程（5）的一般积分。定义：常微分方程（5）为PDE（1）的特征方程（5）的积分曲线为PDE（1）的特征曲线。（6）记定义方程(1)在点M处是双曲

7、型：椭圆型：抛物型：若在点M处，有若在点M处，有若在点M处，有双曲型PDE右端为两相异的实函数它们的一般积分为由此令，方程（1）可改写为双曲型方程的第一标准型双曲型方程的第二标准型抛物型PDE由此得到一般积分为由此令，其中与独立的任意函数。由于由此推出为什么会为0？因此，方程（1）可改写为抛物型方程的标准型而椭圆型PDE右端为两相异的复数由此推出两族复数积分曲线为其中由此令从而方程（1）可改写为，满足方程（4）椭圆型方程的标准型总结（双曲型PDE）（抛物型PDE）（椭圆型PDE）或例1抛物型方程令例2双曲型方程例3Tricomi方程椭圆型双曲型例4