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1、基本定义一般地，把形如y=ax2+bx+c(ah0)(a、b、c是常数)的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。x为自变量，y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。顶点坐标/b4ac一b2交点式为y=a(x-Xi)(x-x2)〈仅限于与X轴有交点的抛物线),与X轴的交点坐标是A(X1，0)和B(X2,0)顶点式y=a(x-h)2+k(a#0,a>h、k为常数)，顶点坐标为(h,k)⑷,对称轴为直线x=h,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最大
2、(小)值眾.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10),求y的解析式。解：设y=a(x-1)2+2,把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2o注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。【2】具体可分为下面几种情况:当h>0时，y=a(x・h尸的图像可由抛物线向右平行移动h个单位得到；当h<0时，y=a(x・h尸的图像可由
3、抛物线y=ax响左平行移动
4、h
5、个单位得到；当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x・h)?+k的图象；当h>O,kvO时，将抛物线y=ax?向右平行移动h个单位，再向下移动
6、k
7、个单位可得到y=a(x・h)?+k的图象；当h<05k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动
8、h
9、个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x巾尸+k的图象；当hvO,kvO时，将抛物线y=ax2!^左平行移动
10、h
11、个单位，再向下移动
12、k
13、个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象
14、。⑸交点式y-a{x-xx){x-X2){a^Q)［仅限于与x轴即y=0有交点时的与x轴交点的情况：当A二以一4必>0时，函数图像与X轴有两个交点，分别是(xb0)和(X2,0)。当^=b2-^ac=°时，函数图像与x轴只有一个切点，即2a[2]0当△二於一4肚<0时，抛物线与x轴没有公共交点。x的取值范圉是虚数-b±Vfc2-4«cx二2a抛物线，即b2-4ac>0].已知抛物线与x轴即y=0有交点A(xb0)和B(x2,0),我们可设y=a{x-xi){x-x2){a^0)函数图像基本图像在平面直角坐标系中
15、作出二次函数y=ax2+bx+c的图像，可以看出，在没有特定症义域的二次函数图像是一条永无止境的抛物线。如果所画图形准确无误，那么二次函数图像将是由y=平移得到的。⑵轴对称ilk——4.*Xa必■G二Jr—or1♦bi+>fljklzuHI♦•y卫八：■・bj、伍3a可・q■■盂0曲“♦毕WWLat1•止屯OFW二次函数图⑹二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线bX=~2^对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图象的顶点Po特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）o是顶点的横坐标（即X二？
16、）oa,b同号，对称轴在y轴左侧；a,b异号，对称轴在y轴右侧。⑵顶点二次函数图像有一个顶点P,坐标为P（h,k）o当h=0时，P在y轴上;当心0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)2+k(x#0),4肚一b2k二—:——4a[2]0开口二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。当a>0时，二次函数图象向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。囘越大，则二次函数图像的开口越小。⑵决定位置因素一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a>0,与b同号时（即ab>0）,对称轴在y轴左；因为对称轴在
17、左边则对称轴小于0,也就是・b/2av0,所以b/2a要大于0,所以a、b要同号当a>0,与b异号时（即ab<0）,对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0,也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0,所以a、b要异号可简单记忆为左同右异，即当对称轴在y轴左时，3与b同号（即a>0,b>0或avO,b<0）；当对称轴在y轴右吋，a与b异号（即aO或a>0,b<0）（ab<0）。事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图象与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数
18、求导得到。⑵决定交点因素常数项c决定二次函数图像与y轴交点。二次函数图像与y轴交于（0,C）点注意：顶点坐标为（h,k）,与y轴交于（0,C）o[2]与X轴交点数a<0;k>0或a>0;k<0时，二次函数图像与x轴有2个交点。k=0时，二次函数图像与x轴只有1个交点。质疑点：a<0;k<0或3>0,k>0时，二次函数图像与x轴无交点。当a>0时，函数在x=h处取得最小值y
