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1、基本定义一般地，把形如 （a、b、c是常数）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。x为自变量，y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。顶点坐标 交点式为 （仅限于与x轴有交点的抛物线），与x轴的交点坐标是 和 顶点式y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k) [4] ，对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最大（小）值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解
2、析式。解：设y=a(x-1)²+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)²+2。精选范本,供参考！注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。 [2] 具体可分为下面几种情况：当h>0时，y=a(x-h)²的图像可由抛物线y=ax²向右平行移动h个单位得到；当h<0时，y=a(x-h)²的图像可由抛物线y=ax²向左平行移动
3、h
4、个单位得到；当h>0,k>0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y
5、=a(x-h)²+k的图象；当h>0,k<0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向下移动
6、k
7、个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象；当h<0,k>0时，将抛物线y=ax²向左平行移动
8、h
9、个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象；当h<0,k<0时，将抛物线y=ax²向左平行移动
10、h
11、个单位，再向下移动
12、k
13、个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象。 [5] 交点式 [仅限于与x轴即y=0有交点时的与X轴交点的情况:当 时，函数图像与x轴有两个交点，分别是(x1,0)和(x2,0)。精选范本,供参考！当 时，函数图像与x轴
14、只有一个切点，即 。 [2] 当 时，抛物线与x轴没有公共交点。x的取值范围是虚数 抛物线，即b2-4ac≥0].已知抛物线与x轴即y=0有交点A(x1,0)和B(x2,0),我们可设 函数图像基本图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax2+bx+c的图像，可以看出，在没有特定定义域的二次函数图像是一条永无止境的抛物线。如果所画图形准确无误，那么二次函数图像将是由 平移得到的。 [2] 轴对称二次函数图像 [6]精选范本,供参考！二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线 对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图象的顶点P。特别地，当b=0时，二次函
15、数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）。是顶点的横坐标（即x=？）。a,b同号，对称轴在y轴左侧；a,b异号，对称轴在y轴右侧。 [2] 顶点二次函数图像有一个顶点P，坐标为P(h,k)。当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)2+k（x≠0） , 。 [2] 开口二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。当a>0时，二次函数图象向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。
16、a
17、越大，则二次函数图像的开口越小。 [2] 决定位置因素一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。精选范本,供参考！当a>0,与b同号时（即a
18、b>0），对称轴在y轴左；因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号当a>0,与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0，所以a、b要异号可简单记忆为左同右异，即当对称轴在y轴左时，a与b同号（即a>0，b>0或a<0，b<0）；当对称轴在y轴右时，a与b异号（即a0或a>0，b<0）（ab<0）。事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图象与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。
19、 [2] 决定交点因素常数项c决定二次函数图像与y轴交点。二次函数图像与y轴交于（0,C）点注意：顶点坐标为（h,k)，与y轴交于（0,C)。 [2] 与x轴交点数a<0;k>0或a>0;k<0时，二次函数图像与x轴有2个交点。k=0时，二次函数图像与x轴只有1个交点。质疑点：a<0;k<0或a>0,k>0时，二次函数图像与x轴无交点。精选范本,供参考！当a>0时，函数在x=h处取得最小值y=k，在xh范围内是增函数（即y随x的变大而变大），二次函数图像的开口向上，函数的值域是y>k当a<0时，函数在x=h处取得最大值 =k，在x<
20、h范围内是增函数，在x>h范围内是减函
